📂測度論

支配収束定理の証明

定理 ¹

可測集合$E \in \mathcal{M}$と$g \in \mathcal{L}^{1} (E)$に対して、可測関数列$\left\{ f_{n} \right\}$が$E$のほとんど至るところで$|f_{n}| \le g$を満たすとしよう。もし$E$のほとんど至るところで$\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n}$であれば、$f \in \mathcal{L}^{1}(E)$であり $$ \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm $$

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• $f,g \in \mathcal{L}^{1} (E)$は$f$と$g$がルベーグ積分可能関数であることを意味する。

説明

単調収束定理と比較すると、$f_{n} \nearrow f$という条件がなくなり、さらには$f_{n} \ge 0$である必要もなくなった。

興味深いことに、$\left\{ f_{n} \right\}$を「支配」できる$g$が必要ではあるが、いざ結果には$g$が現れない。

証明

Part 1.

$f \in \mathcal{L}^{1}(E) $であることを示そう。

$E$で$|f_{n}| \le g$なので、すべての$x \in E$に対して$-g(x) \le f_{n} \le g(x)$である。整理すると $$0 \le f_{n} (x) + g(x) \le 2 g(x)$$ であるが、$n \to \infty $のとき $$0 \le f (x) + g(x) \le 2 g(x)$$ なので $$(f+g) \in \mathcal{L}^{1}(E)$$ 一方、$f = (f + g ) + ( -g)$であり、$\mathcal{L}^{1}(E)$はベクトル空間なので$f \in \mathcal{L}^{1}(E)$である。

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Part 2.

$f_{n} \ge 0$と仮定しよう。

ファトゥの補題: 関数値が非負である可測関数の数列$\left\{ f_{n} \right\}$に対して $$\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

仮定とファトゥの補題により $$\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$ であり、$\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm $だけ示せばよい。

$g-f_{n}$にファトゥの補題を再び適用してみると $$\displaystyle \int_{E} \lim_{n \to \infty} (g - f_{n}) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} (g - f_{n} ) dm $$ である。ここで$f, g \ge 0$なので左辺は $$\displaystyle \int_{E} \lim_{n \to \infty} (g - f_{n}) dm =\int_{E} g dm - \int_{E} f dm$$ 右辺は $$ \begin{align*} & \liminf_{n \to \infty} \int_{E} (g - f_{n} ) dm \\ =& \liminf_{n \to \infty} \left( \int_{E} g dm - \int_{E} f_{n} dm \right) \\ =& \int_{E} g dm - \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \end{align*} $$ 整理すると $$ \int_{E} g dm - \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm - \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$ $g \in \mathcal{L}^{1} (E)$なので$\displaystyle \int_{E} g dm < \infty$であり、両辺から消去でき、符号を整理すると次を得る。 $$\limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm$$

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Part 3.

$f_{n} \ge 0$ではない場合に一般化しよう。$h_{n} := f_{n} + g$と定義すれば$h_{n} \ge 0$なので、Part 2で行った過程を繰り返すことができる。

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