📂測度論

測度論におけるほとんど至る所とほとんど確実に

定義 ¹

関数 $f : E \to \overline{\mathbb{R}}$ が $m(E_{0}) = 0$ である $E_{0} \subset E$ を除いてある性質 $P$ を持つとき、$f$ は $E$ のほとんど至る所で $P$ を持つという。

表記

確率を論じるときほとんど至る所^{almost Everywhere}はほとんど確実に^{almost Surely}と表現し、日本語だけで表記するのが煩わしいときは次のように略語を使って表現する。 $$ f = g \text{ a.e.} \\ P(E) = 0 \text{ a.s.} $$

説明

簡単に言えば、零集合を除いたすべての点を「ほとんどすべての場所」と見なすことである。この概念はあらためて定義するから生疎なだけで、高校で定積分を学ぶときにすでに知っていたものである。だから上端と下端が同じであればその定積分は必ず $0$ であったし、確率を計算するときも端点が含まれるか、含まれないかは無視した。

基礎的性質

• [1]: $f : E \to \mathbb{R}$ が可測で $E$ のほとんど至る所で $f = g$ ならば $g$ は $E$ で可測である。
• [2]: $f,g$ が $E$ で可測で $E$ のほとんど至る所で $|f| , |g| < \infty$ ならば $\alpha f + \beta g$ は $E$ で可測である。
• [3]: $f,g$ が $E$ で可測で $E$ のほとんど至る所で $|f| , |g| < \infty$ ならば $f g$ は可測である。

証明

これらの性質は一度くらいは手で直接証明してみるのが良いが、証明する面白さだけを考えれば [3] 以外にはさほど見るべきものがない。

[1]

$E_{0} = \left\{ x \in E \ | \ f(x) \ne g(x) \right\}$ とすれば $E_{0} \subset E$ かつ $m(E_{0}) = 0$ である。任意の $c$ に対して $$ \left\{ x \in E \ | \ g(x) > c \right\} = \left\{ x \in E_{0} \ | \ g(x) > c \right\} \cup \left[ \left\{ x \in E \ | \ f(x) > c \right\} \cap ( E \setminus E_{0} ) \right] $$ とする。右辺の項を一つずつ見ると $\left\{ x \in E_{0} \ | \ g(x) > c \right\} \subset E_{0}$ であるから $$ \left\{ x \in E_{0} \ | \ g(x) > c \right\} \in \mathcal{M} $$ $f$ は $E$ で可測であるから $$ \left\{ x \in E \ | \ f(x) > c \right\} \in \mathcal{M} $$ 最後に $$ E \cap (\mathbb{R} \setminus E_{0}) = ( E \setminus E_{0} ) \in \mathcal{M} $$ したがって $\left\{ x \in E \ | \ g(x) > c \right\} \in \mathcal{M}$ であり、$g$ は $E$ で可測である。

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[2]

$\alpha = 0$ ならば $\alpha f$ は可測であり、$\beta = 0$ ならば $\beta g $ は可測である。

$\alpha \ne 0$ ならば $f$ が可測であるから、任意の $\displaystyle {{c} \over {\alpha}}$ に対して $$ \left\{ x \in E \ \left| \ f(x) > {{c} \over {\alpha}} \right. \right\} \in \mathcal{M} $$ ここで $\alpha> 0$ ならば $$ \left\{ x \in E \ | \ \alpha f(x) > c \right\} \in \mathcal{M} $$ であり $\alpha <0$ ならば $$ \left\{ x \in E \ | \ \alpha f(x) < c \right\} \in \mathcal{M} $$ したがって $\alpha f$ は可測であり、同じ方法で $\beta \ne 0$ のとき $\beta g$ が可測であることも同じ方法で示すことができる。

ここで $(f + g)$ が可測、すなわち $\left\{ x \in E \ | \ f(x) + g(x) < c \right\} \in \mathcal{M}$ を示せば証明は終わる。二つの関数は有限な値を持つので、すべての $x \in E$ に対して $f(x) + g(x) < c$ を満たす $c \in \mathbb{R}$ が存在するはずである。書き直すと $f(x) < c - g(x)$ であり、有理数の稠密性によって $f(x) < q < c - g(x)$ を満たす $q \in \mathbb{Q}$ が存在する。すると $$ \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \left\{ x \in E \ | \ g(x) < c - q \right\} \cap \left\{ x \in \ | \ E f(x) < q \right\} = \left\{ x \in E \ | \ f(x) + g(x) < c \right\} \in \mathcal{M} $$

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Strategy[3]**: $fg$ が可測であることを示すアイデアは $\displaystyle fg = {{1} \over {2}} \left[ (f+ g)^2 - f^2 - g^2\right]$ というこの一つの等式に要約される。

[3]

すでに [2] で関数値が発散しない可測関数の和は可測であることを示したので、$f^2$ が可測であることを示せば十分である。$f$ は可測であるから、すべての $c$ に対して $$ \left\{ x \in E \ | \ f(x) > \sqrt{c} \right\} \in \mathcal{M} \\ \left\{ x \in E \ | \ f(x) < - \sqrt{c} \right\} \in \mathcal{M} $$ である。したがって $$ \left\{ x \in E \ | \ f(x) > \sqrt{c} \right\} \cup \left\{ x \in E \ | \ f(x) < - \sqrt{c} \right\} = \left\{ x \in E \ | \ f^2 (x) > c \right\} \in \mathcal{M} $$

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関連リンク

• ほとんど至る所収束 $\implies$ 測度収束
• ほとんど確実に収束 $\implies$ 確率収束