整数論
整数論はその名の通り、整数の性質と関係についての研究で、数学が誕生した時から歴史を刻んできた由緒ある分野だ。ガウスは整数論について次のような言葉を残している。
“数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である。”
初等整数論
初等Elemantaryは解析的整数論、代数的整数論と対比される表現であり、そのようなツールを使用しないということであって、小学生レベルで簡単であるという意味ではない。もちろん、命題を読むこと自体は最も学識が必要ないため「とりあえず」簡単だとも言えるかもしれない。数学に興味のある才能ある子供たちは、幼い頃からこのような整数論に触れる。
- 有理数
- 無理数
倍数と約数
素数
モジュラー算術
完全数
二次互反法則
楕円曲線
暗号論
初期の暗号論は整数論の代表的な応用だった。何千年も純粋数学であった整数論は、暗号に対する応用を通じて実用的な学問へと変貌を遂げ、最近では抽象代数学が応用されている。
離散対数
素因数分解
代数的整数論
拡張環
- ガウス整数 $\mathbb{Z} [i]$
- ガウシアンリングのノルム
- ガウス素数定理
- アイゼンシュタイン整数 $\mathbb{Z} [\omega]$
- アイゼンシュタインリングのノルム
- アイゼンシュタイン素数定理
解析的整数論
算術関数
- 算術関数 $f$
- 算術関数の乗法的性質
- 算術関数のディリクレ積 $\ast$
- メビウスの逆公式
- ベル級数 $f_{p}(x)$
- 算術関数の微分 $f '$
- セルバーグの恒等式
- 一般化されたディリクレ積 $\circ$
主要参考文献
- Silverman. (2012). A Friendly Introduction to Number Theory (4th Edition)
- Apostol. (1976). Introduction to Analytic Number Theory
- Hoffstein. (2008). An Introduction to Mathematical Cryptography
全體ポスト
- 11の倍数判定法のより簡単な証明
- 3の倍数判定法と9の倍数判定法の証明
- 7と13の倍数判定法の証明
- ユークリッドの証明:素数は無限に存在する
- 合同方程式に対する代数学の基本定理の証明
- ユークリッドの互除法の証明
- 整数論における合同
- 素数分解の定理
- 拡張ユークリッドの定理の証明
- 算術の基本定理の証明
- オイラーの証明:素数は無限に存在する
- ピタゴラスの三つ組
- ピタゴラス数のうち一つは偶数でなければならない
- ピタゴラスの三つ組の一つは必ず3の倍数でなければならない。
- 原始ピタゴラスの三つ組は二つの奇数のみで表すことができる
- 原始ピタゴラス数は互いに素である。
- フェルマーの小定理の証明
- ウィルソンの定理の証明
- ねじれ関数
- トーシェント関数の乗法性質の証明
- オイラーのトーシェント定理の証明
- オイラーのトーシェント合計式の導出
- 中国人の剰余定理の証明
- メルセンヌ素数
- 整数論におけるシグマ関数
- ユークリッドの完全数公式の導出
- オイラーの完全数定理の証明
- 連続二乗法の証明
- 合同方程式の根
- カーマイケル数
- 数論における位数
- 原始元定理の証明
- コセット判定法
- ミラー-ラビン素数判定法
- 二次剰余と非二次剰余
- ルジャンドル記号の乗法的性質の証明
- オイラーの基準
- ガウスの二次互逆法則の証明
- 4で割ったときに余りが1になる素数の必要十分条件
- 3で割ったときの余りが1になる素数の必要十分条件
- ペル方程式
- 暗号理論における暗号化と復号화
- 離散対数
- ディフィー・ヘルマン鍵交換アルゴリズムの証明
- エルガマル公開鍵暗号方式の証明
- ショアのアルゴリズムの証明
- スムーズ素数
- ポラード・ロー アルゴリズムの証明
- 離散対数問題が容易に解決される条件
- セミプライム
- ルート2が無理数であることの証明
- 素因数分解
- RSA公開鍵暗号方式の証明
- ゴールドワッサー-ミカリ確率的鍵暗号システムの証明
- ポラードのp-1素因数分解アルゴリズムの証明
- 半素数の素因数分解が容易に解ける条件
- ガウス整数
- ガウス環のノルム
- ガウス素数定理の証明
- アイゼンシュタイン整数
- アイゼンシュタイン環のノルム
- アイゼンシュタイン素数定理の証明
- 1万番目までの素数点以下のリスト
- 解析的整数論における算術関数
- 算術関数のディリクレ積
- ディリクレ積に関する恒等式
- ディリクレ積の逆수
- 算術関数のアーベル群
- 算術関数の乗法的性質
- ディリクレ積と乗法的性質
- 乗法的関数のアーベル群
- 解析的整数論における約数関数
- 解析的整数論におけるノルム
- 解析数論におけるメビウス関数
- 解析的整数論におけるオイラーのトーシェント関数
- 解析的数論におけるユニット関数
- メビウスの反転公式の導出
- 解析的整数論とマンゴルト函数
- 解析数論におけるリウヴィル関数
- 算術関数のベル級数
- 算術関数の微分
- ゼルバーグの恒等式の証明
- 一般化されたディリクレ積
- 算術関数の部分和に対する一般化されたディリクレ積表現
- 指数補助補題の証明
- 数論におけるp-進数
- 最大公約数と互いに素
- 商と余り
- 偶数の定義
- 素数と合成数