📂整数論

ピタゴラス数のうち一つは必ず3の倍数でなければならない

定義 ¹

自然数$a,b,c$が$a^2 + b^2 = c^2$を満たすとき、$a$または$b$は$3$の倍数である。

説明

ピタゴラス数のうち一つは必ず偶数であるだけでなく、少なくとも一つは$3$の倍数であるという話ができる。

証明

ある自然数$n$に対して、自然数を$3$で割った余り$1, 2, 0$に応じて三つの場合に分けて考えてみよう。

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Case 1. 余りが$1$の場合 $$ \begin{align*} (3n+1)^2 &= 9 n^2 + 6n + 1 \\ =& 3( 3 n^2 + 2n) + 1 \end{align*} $$ であるから、平方数の余りは$1$である。

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Case 2. 余りが$2$の場合 $$ \begin{align*} (3n+2)^2 =& 9 n^2 + 12n + 4 \\ =& 3 ( 3 n^2 + 4n + 1 ) + 1 \end{align*} $$ であるから、やはり平方数の余りは$1$である。

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Case 3. 余りが$0$の場合

$3$の倍数は二乗しても依然として$3$で割り切れる。

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すなわち、すべての平方数$n^2$は$3$で割ったとき余りが$1$または$0$である。

もし$a$と$b$がともに$3$の倍数でないと仮定すると、$a^2$と$b^2$はともに余りが$1$である。したがって$c^2 = a^2 + b^2$を$3$で割った余りは$2$になる。しかし先にすべての平方数は$3$で割ったとき余りが$2$になり得ないことを示したので、これは矛盾である。ゆえに$a$または$b$が$3$の倍数でなければならない。

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