📂整数論

合同方程式に対する代数学の基本定理の証明

定理¹

ある素数$p$に対して$p\nmid a_{ 0 }$とすると、すべての係数が整数である多項式 $$ f(x)=a_{ 0 }x^{ d }+a_{ 1 }x^{ d-1 }+ \cdots +a_{ d-1 }x+a_{ d } $$ に対して、方程式$f(x)\equiv 0 \pmod{p}$は多くとも$d$個の互いに合同でない解を持つ。

説明

よく知られているように実係数を持つ多項式について言えば、$n$次方程式は重根を含めて$n$個の解を持つという定理である。これを整数論で考えてみると、$\pmod{p}$において整数係数のみを持つ$d$次方程式は多くとも$d$個の解しか持たないと言える。このようなステートメントは、整数に複素数を導入することでより簡潔なものに変えられる。

証明

戦略：代数学の基本定理が複素解析を通じて演繹されるのとは異なり、合同方程式については初等的な整数論の知識で十分である。互いに合同でない解が$d$個より多く存在すると仮定して矛盾を導く。

---

方程式$P(x)\equiv 0 \pmod{p}$において互いに異なる解が$n$より多くなるような$n$次整数係数多項式関数$P$が存在すると仮定しよう。その中で次数が最も小さい多項式関数$f$を選ぶと、以下のように表せる。 $$ f(x)=A_{ 0 }x^{ d }+A_{ 1 }x^{ d-1 }+ \cdots +A_{ d-1 }x+A_{ d } (p\nmid A_{ 0 }) $$ すると方程式$f(x)\equiv 0 \pmod{p}$は互いに異なる解$r_{ 1 },r_{ 2 }, \cdots ,r_{ d },r_{ d+1 }$を持つ。$f(x)\equiv 0 \pmod{p}$の解$r$に対して$f(x)$は $$ f(x)=(x-r)g(x)+f(r) $$ のように表される。$f(x)$を$(x-r)$で割った商である$g(x)$は$(d-1)$次整数係数多項式関数であり、以下の通りである。 $$ g(x)=B_{ 0 }x^{ d-1 }+B_{ 1 }x^{ d-2 }+ \cdots +B_{ d-2 }x+B_{ d-1 } (p\nmid B_{ 0 }) $$ $r$に$r_{ 1 }$を代入してみると$f(r_{ 1 })\equiv 0 \pmod{p}$なので $$ f(x)\equiv (x-r_{ 1 })g(x) \pmod{p} $$ $r_{ k }$は$f(x)=0$の根なので、$(2\le k\le d+1)$に対して $$ f(r_{ k })\equiv (r_{ k }-r_{ 1 })g(r_{ k })\equiv 0 \pmod{p} $$ $r_{ k }-r_{ 1 } \not\equiv 0 \pmod{p}$なので$g(r_{ k })\equiv 0 \pmod{p}$でなければならない。したがって$g(x)\equiv 0 \pmod{p}$は$d$個の互いに異なる解$r_{ 2 },r_{ 3 }, \cdots ,r_{ d+1 }$を持つ。$f(x)$は次数より互いに異なる解が多い多項式関数の中で最も次数が低い$d$次多項式関数であるが、$g(x)$は次数が$(d-1)$であるにもかかわらず$d$個の互いに異なる解を持っているので矛盾である。

■

関連リンク

• 代数学の基本定理