📂整数論

オイラーの完全数定理の証明

定理 ¹

偶数$n = 2^{p-1} (2^p - 1)$が完全数ならば$2^{p}-1$はメルセンヌ素数である。

説明

一見するとユークリッドの完全数公式の逆になるように見えるが、偶数についてのみ言及されている点が異なる。

しかしこの定理は完全数のほとんどすべてを語っている。実際、奇数の完全数はまだ発見されたことがないからである。現在まで奇数の完全数について明らかになっている事実は、「存在するならば非常に大きいだろう」という程度しかない。

証明

Part 1.

$n$は完全数なので$2n = \sigma (n)$である。

シグマ関数の性質：$\displaystyle \sigma (n) : = \sum_{d \mid n} d$について次が成り立つ。

• [1]：素数$p$について $$\sigma ( p^k ) = {{p^{k+1} - 1} \over {p-1}}$$
• [2]：$\gcd (n , m ) = 1$ならば $$\sigma (nm) = \sigma (n) \sigma (m)$$

ある奇数$m$について$n = 2^{k} m$と置くと $$ \begin{align*} 2^{k+1} m =& 2n \\ =& \sigma (n) \\ =& \sigma (2^{k} m) \\ =& \sigma (2^{k} ) \sigma ( m) \\ =& (2^{k+1} - 1) \sigma (m) \end{align*} $$ 整理すると$(2^{k+1} - 1) \sigma (m) = 2^{k+1} m$となるが、$2^{k+1} -1$は奇数なので$\sigma (m)$は$2^{k+1}$の倍数である。つまりある$c$について次が成り立つ。 $$ \begin{align*} \sigma (m) =& 2^{k+1} c \\ m =& (2^{k+1} - 1) c \end{align*} $$

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Part 2.

$c \ge 1$と仮定してみると $$ \sigma (m) \ge 1 + c + m = 1 + c + (2^{k+1} -1) c = 1 + 2^{k+1}c $$ である。しかし$\sigma (m) = 2^{k+1}c$であったので$2^{k+1}c \ge 1 + 2^{k+1} c$となるが、これは矛盾なので$c=1$である。

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Part 3.

$$ \sigma (m) = 2^{k+1} = (2^{k+1} - 1) + 1 = m+1 $$

$m$が自分自身と$1$のみを約数として持つということは$m$が素数であるという意味である。$m = 2^{k+1} - 1$なので、$m$はメルセンヌ素数である。

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