オイラーの証明：素数は無限に存在する
定理
素数は無限に多く存在する。
証明
戦略: どんな方法を使おうと同じ結果に到達しさえすれば構わないが、本当に特異な仕方で解いたのなら、それ自体に学ぶ価値がある。ユークリッドの証明のような単純明快で洗練された味わいはないが、整数論の問題を解析的なツールで解決したという点が非常に興味深い。オイラーが残した多くの証明がそうであるように、一度見たら忘れがたいほどの衝撃を与えてくれる。天才の発想をたどって証明そのものを味わってみよう。
調和級数 $$ \sum_{ n = 1 }^{ \infty } {{1} \over {n}} = 1 + {{1} \over {2}} + {{1} \over {3}} + {{1} \over {4}} + {{1} \over {5}} + {{1} \over {6}} + \cdots $$ を考えてみよう。$n$が素数の冪であるものごとにまとめると $$ \sum_{ n = 1 }^{ \infty } {{1} \over {n}} = 1 + \left( {{1} \over {2}} + {{1} \over {4}} + \cdots \right) + \left( {{1} \over {3}} + {{1} \over {9}} + \cdots \right) + \left( {{1} \over {5}} + {{1} \over {25}} + \cdots \right) + \cdots+ {{1} \over {6}} + \cdots $$ 一方算術の基本定理により、一つの自然数と一つの素因数分解は一対一対応を持つ。例えば$6= 2 \cdot 3$であるから、$\displaystyle \left( {{1} \over {2}} + {{1} \over {4}} + \cdots \right)$と$\displaystyle \left( {{1} \over {3}} + {{1} \over {9}} + \cdots \right)$からそれぞれ$\displaystyle {{1} \over {2}}$と$\displaystyle {{1} \over {3}}$を取り出して掛けると、ちょうど$\displaystyle {{1} \over {6}}$が一つ現れるのである。どんな自然数であっても素数の冪の間から取り出して掛ければちょうど一つが作られるので、調和級数は $$ \sum_{ n = 1 }^{ \infty } {{1} \over {n}} = \left( 1 + {{1} \over {2}} + {{1} \over {4}} + \cdots \right) \left( 1 + {{1} \over {3}} + {{1} \over {9}} + \cdots \right) \left( 1 + {{1} \over {5}} + {{1} \over {25}} + \cdots \right) \cdots $$ と表すことができる。幾何級数で改めて整理すると $$ \sum_{ n = 1 }^{ \infty } {{1} \over {n}} = \left( {{1} \over {1 - {{1} \over {2}} }} \right) \left( {{1} \over {1 - {{1} \over {3}} }} \right) \left( {{1} \over {1 - {{1} \over {5}} }} \right) \cdots $$ 簡潔に積の形で表すと素数$p$に対して $$ \sum_{ n = 1 }^{ \infty } {{1} \over {n}} = \prod_{p} \left( 1 - {{1} \over {p}} \right)^{-1} $$ 一方すべての素数$p$に対して $$ \left( 1 - {{1} \over {p}} \right)^{-1} = {{1} \over {1 - {{1} \over {p}} }} > 1 $$ であるから、$\displaystyle \prod_{p} \left( 1 - {{1} \over {p}} \right)^{-1}$が発散するということは素数$p$が無限に存在するということである。もちろん調和級数は発散するので $$ \prod_{p} \left( 1 - {{1} \over {p}} \right)^{-1} = \sum_{ n = 1 }^{ \infty } {{1} \over {n}} = \infty $$ であり、したがって素数は無限に存在する。
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