11の倍数判定法のより簡単な証明
ビルドアップ
この記事では、進法に関する便宜のために次のような表記を使う。 $$ [a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}] := a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} +…+ a_{1} \cdot 10^{1} + a_{0} \cdot 10^{0} $$ 例えば$5714$は次のように表すことができる。 $$ \begin{align*} [5714] =& 5000+700+10+4 \\ =& 5\cdot 10^{3} +7\cdot 10^{2} +1\cdot 10^{1} +4\cdot 10^{0} \end{align*} $$
定理
$a_{n} - a_{n-1} + … + a_{1} - a_{0}$が$11$の倍数ならば、$[a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}]$も$11$の倍数である。
説明
もちろん$7$の倍数判定法 $13$の倍数判定法から、与えられた数が$7$、$11$、$13$の倍数かどうかを判定する方法を得ることができるが、$11$の場合には特にはるかに易しい結果と簡単な証明がある。ただし$7$、$11$、$13$の場合とは異なり合同式を使うため、ごく基礎的な整数論の知識がなければ証明を理解できない。
証明
戦略：証明に使われる核心的なアイデアは、まさに法$11$において$10$と$-1$が合同だということである。このヒントさえあれば、証明は終わったも同然である。 $$ 10 \equiv -1 \pmod {11} $$
$$ \begin{align*} & [a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}] \\ \equiv & a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} +…+ a_{1} \cdot 10^{1} + a_{0} \cdot 10^{0} \pmod {11} \\ \equiv & a_{n} {(-1)}^{n}+ a_{n-1} {(-1)}^{n-1}+…+ a_{1} {(-1)}^{1}+ a_{0} {(-1)}^{0} \pmod {11} \\ \equiv & a_{n} - a_{n-1} + a_{n-2} -…+ a_{2} - a_{1} + a_{0} \pmod {11} \end{align*} $$ つまり$a_{n} - a_{n-1} + a_{n-2} -…+ a_{2} - a_{1} + a_{0}$が$11$の倍数ならば $$ a_{n} - a_{n-1} + a_{n-2} -…+ a_{2} - a_{1} + a_{0} \equiv 0 \equiv [a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}] \pmod {11} $$ 言い換えれば、$[a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}]$は11の倍数である。
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