3の倍数判定法と9の倍数判定法の証明
定理
各桁の数字をすべて足して$3$の倍数なら$3$の倍数、$9$の倍数なら$9$の倍数である。
説明
例として
- $8142$は$8142=3 \cdot 2714$なので$3$の倍数であり、実際に$8+1+4+2=15$は$3$の倍数である。
- $1945125$は$1945125=9 \cdot 216125$なので$9$の倍数であり、実際に$1+9+4+5+1+2+5=27$は$9$の倍数である。
倍数判定法は現代においては実のところあまり意味がなくなったが、依然として興味深い道具である。$2,4,5,8$の倍数は判定するのがとても簡単だが、$3, 7, 9, 11$などの数については別途の証明が必要である。幸いなことに、7を除けば概ね証明も理解も容易な方である。
証明
戦略：証明の核心は、10の累乗を1と99..99に分けて各桁の数字だけを考えることである。本記事では証明の際の便宜のために、以下のような表記法を使うことにする。
$$ [a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}]= a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} +…+ a_{1} \cdot 10^{1} + a_{0} \cdot 10^{0} $$ 例えば$5714$は次のように表すことができる。 $$ [5714]=5000+700+10+4=5\cdot 10^{3} +7\cdot 10^{2} +1\cdot 10^{1} +4\cdot 10^{0} $$ もし証明が理解できなければ、実際に何らかの例を見ながら考えてみるのがよい。
$$ \begin{align*} & [a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}] \\ =& a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} +…+ a_{1} \cdot 10^{1} + a_{0} \cdot 10^{0} \\ =& a_{n} \cdot \left( 10^{n} -1 \right) + a_{n-1} \cdot \left( 10^{n-1} -1 \right) + \cdots + a_{1} \cdot \left( 10^{1} -1 \right) \\ & + a_{0} +\left( a_{n} + a_{n-1} +…+ a_{1} \right) \\ =& \sum_{k=1}^{n} a_{k} \left( 10^{k} - 1 \right) + \sum_{k=0}^{n} a_{k} \end{align*} $$
ここで$10^{n} -1=[99…99]$は$3$と$9$の倍数である（例えば、$10^{3} -1=999$）。したがって$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_{k}$が3の倍数なら$[a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}]$も3の倍数である。同様に$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_{k}$が9の倍数なら$[a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}]$も9の倍数である。
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