オイラーのトーシェント和公式の導出
公式
$n$の約数を$d_{1}, d_{2} , \cdots , d_{r}$とすると $$ n = \sum_{ i = 1 }^{r} \phi (d_{i}) = \phi (d_{1}) + \phi (d_{2}) + \cdots + \phi (d_{r}) $$
説明
トーシェント関数は、定義の時点からいくらか不自然な概念だと感じられるかもしれない。しかしトーシェント定理にせよ、このような公式があることを見れば、数学の真理のどこかで確かに必要とされる関数であることを認めざるを得ない。
たとえば$15$を見ると、$15$は約数$1,3,5,15$を持つ。実際に計算してみると次のようになる。 $$ \begin{align*} \phi (1) + \phi (3) + \phi (5) + \phi (15) =& \phi (1) + \phi (3) + \phi (5) + \phi (3) \phi (5) \\ =& 1 + 2 + 4 + 2 \cdot 4 \\ =& 15 \end{align*} $$
導出
$F(n) := \phi (d_{1}) + \phi (d_{2}) + \cdots + \phi (d_{r})$と定義し、$F(n) = n$であることを示せばよい。
Case 1. $n$が素数
素数$p$のべき乗$n = p^{k}$とすると $$ \begin{align*} F(n) =& \phi (1) + \phi (p) + \cdots \phi (p^{k}) \\ =& 1 + (p-1) + \cdots + (p^{k} - p^{k-1}) \\ =& p^{k} \end{align*} $$
Case 2. $n$が二つの素数$p,q$のべき乗の積
$n = p^{k_{p}} q^{k_{q}}$とすると $$ \begin{align*} F(n) =& \phi (1) + \phi (p) + \cdots + \phi (p^{k_{p}}) + \phi (q) + \cdots + \phi (q^{k_{q}}) \\ & + \phi (pq) + \phi (p^{2}q) + \phi (pq^{2}) + \cdots + \phi (p^{k_{p}} q^{k_{q}}) \end{align*} $$ トーシェント関数の乗法的性質により $$ \begin{align*} F(n) =& \phi (1) + \phi (p) + \cdots \phi (p^{k_{p}}) + \phi (q) + \cdots \phi (q^{k_{q}}) \\ & + \phi (p) \phi (q) + \phi (p^{2}) \phi (q) + \phi (p) \phi (q^{2}) + \cdots \phi (p^{k_{p}}) \phi ( q^{k_{q}}) \\ =& \left[ \phi (1) + \phi (p) + \cdots \phi (p^{k_{p}}) \right] \left[ 1 + \phi (q) + \cdots \phi (q^{k_{q}}) \right] \\ =& F(p^{k_{p}}) F(q^{k_{q}}) \end{align*} $$
Case 3. $n$が任意の自然数
算術の基本定理により$n = p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{s}^{k_{s}}$と表せる。 $$ \begin{align*} F(n) =& F(p_{1}^{k_{1}}) F(p_{2}^{k_{2}}) \cdots F(p_{s}^{k_{s}}) \\ =& p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \cdots p_{s}^{k_{s}} \\ =& n \end{align*} $$ したがって、どの場合でも$F(n) = n$が成り立つ。
■