📂整数論

ピタゴラスの三つ組

定義 ¹

$a^2 + b^2 = c^2$を満たす三つの自然数の順序組$(a,b,c)$をピタゴラスの三つ組という。もし三つの自然数が公約数を持たなければ原始ピタゴラスの三つ組^{primitive Pytahgoras Triple}という。

説明

便宜上、ピタゴラスの三つ組に含まれる数をピタゴラス数と呼ぶことにしよう。

ピタゴラスの三つ組の例としては、皆がよく知っているように$(3, 4, 5)$や$(5, 12, 13)$などがある。主に関心の対象となるのは原始ピタゴラスの三つ組で、よくPPTという略語で書かれる。もしピタゴラス数が公約数$g$を持ち

$$ a=gA \\ b=gB \\ c=gC $$

と表されると仮定すると

$$ \begin{align*} & a^2 + b^2 = c^2 \\ \iff & (gA)^2 + (gB)^2 = (gC)^2 \\ \iff & A^2 + B^2 = C^2 \end{align*} $$

であるから、これらすべての可能性を考える意味がないためである。