数論におけるシグマ関数
定理
$\displaystyle \sigma (n) : = \sum_{d \mid n} d$について次が成り立つ。
- $$\sigma ( p^k ) = {{p^{k+1} - 1} \over {p-1}}$$
- [2]: $\gcd (n , m ) = 1$ならば $$\sigma (nm) = \sigma (n) \sigma (m)$$
説明
シグマ関数は簡単に言えば約数の和であり、$6$を例に挙げると$\sigma (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$である。解析的数論では約数関数へ一般化される。
一方、シグマ関数に言及することで完全数perfect numberを綺麗に定義できる。完全数とは、自分自身を除いた約数の和が自分自身と等しくなる数である。したがって$\sigma (n) = 2n$を満たす$n$を完全数と定義すればよい。
証明
1
$$ \sigma ( p^k ) = 1 + p + \cdots + p^{k} = {{p^{k+1} - 1} \over {p-1}} $$
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[2]
$n$の約数を$1, d_{n1}, d_{n2}, \cdots, d_{nN}, n$、そして$m$の約数を$1, d_{m1}, d_{m2}, \cdots, d_{mM}, m$としよう。
$\gcd(n,m) = 1$なので $$ \sum_{d \mid nm} d = 1 + d_{n1} + d_{m1} + d_{n1} d_{m1} + \cdots + nm $$ 整理すると $$ \sum_{d \mid nm} d = (1 + d_{n1} + \cdots + n ) (1 + d_{m1} + \cdots + m) = \sum_{d | n} d_{n} \sum_{d | m} d_{m} $$
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