解析学
実数数列 ${x_{n}} : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ と実関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を扱うカテゴリーです。
関連項目:
実数空間 $\mathbb{R}$
実数列
- 大学数学で数列の極限を新たに定義する理由
- 大学数学で数列の収束を複雑に定義する理由
- 収束する実数列の性質
- 発散する実数列の性質
- 単調数列と単調数列定理
- カントールの縮小区間定理の証明
- ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理の証明
- コーシー数列
- 上極限、下極限
- 等比数列の極限
- 部分数列
級数
連続
不連続性
微分
- 実数空間で定義された関数の微分
- 微分可能なら連続である
- 微分可能な関数の性質
- 微分の連鎖律
- 極大値の定義と微分係数との関係
- 平均値の定理
- 連続だが微分できない関数：ワイエルシュトラス関数
- 導関数と関数の増減の関係
- ライプニッツの微分公式
リーマン積分
積分に関する内容は主に PMA（Principles of Mathematical Analysis）の教科書を参考に作成されたため、証明内容がリーマン＝スティルチェス積分に一般化された記事が多いです。$\alpha(x) = x$ とおけばリーマン積分に関する証明と同じです。
積分の性質
- 積分は線形である
- 積分可能性は連続関数との合成で保たれる
- 積分可能性は二つの関数の積で保たれる
- 積分可能性は区間内で保たれる
- 関数の大小関係による積分の大小関係
- 積分可能な関数と絶対値
- 積分の平均値の定理の証明
- ライプニッツの積分公式
積分と微分
曲線
関数の数列と級数
ベキ級数
- ベキ級数
- 収束半径
- 収束性
- ベキ級数の微分 $\dfrac{d}{dx} \left(\sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x-a)^{n} \right) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} nc_{n} (x-a)^{n-1}$
- ベキ級数の積分 $\displaystyle \int \sum\limits_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x-a)^{n} dx = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{c_{n}}{n+1} (x-a)^{n+1} + C$
- コーシー積：収束する二つのベキ級数の積
その他
主要参考文献
- James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E)
- William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010)
- Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976)
全體ポスト
- 解析学の三つの公理：1 体の公理
- 解析学の三つの公理：第二順序公理
- 解析学におけるアルキメデスの原理
- 解析学の三つの公理：完備性公理
- 実数の密度の証明
- 積分の平均値定理
- フレネル正弦積分のマクローリン級数展開
- 分割、リーマン和、リーマン積分
- リーマン・スティルチェス積分
- 上積分は下積分以上である。
- 細分화
- リーマン（-スティルチェス）積分可能の必要十分条件
- 連続関数はリーマン-スティルチェス可積分である
- 単調関数はリーマン・スティルチェス積分可能である
- 積分可能性は連続関数との合成で保存される
- 積分可能性は二つの関数の乗算で保存される
- 級数、無限級数
- ライプニッツの定理の証明
- 局所リプシッツ条件
- 各断片ごとの連続性、各断片ごとの滑らかさ
- 関数の値の平均
- 関数列のノルム収束
- 累乗級数
- コーシー積：収束する二つの冪級数の積
- 二項級数の導出
- 連続関数空間の代数
- ストーン-ワイエルシュトラスの定理の証明
- 円周率が無理数であることの証明
- オイラー定数eは無理数である
- 閉区間で積分できない関数：ディリクレ関数
- 関数列の各点収束
- 関数列の一様収束
- 実数集合における集積点
- 実数の集合と空集合は開いていると同時に閉じている。
- 関数の点収束と一様収束の違い
- 関数の級数
- 連続だが微分不可能な関数：ワイエルシュトラス関数
- 大学数学における数列の極限を新たに定義する理由
- 大学数学における数列の収束を複雑に定義する理由
- カントールの交差定理
- ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
- コーシー数列
- リミット・スプレムとリミット・インフィマム
- イプシロン-デルタ論法
- 大学数学で新しく定義される連続関数
- 関数の一様連続
- 実数空間で定義された関数の微分
- 拡張実数体系
- ライプニッツの積分則
- リーマン(-シュティールス)積分の線形性
- 積分可能な関数と絶対値
- 解析学における微分積分学の基本定理1
- 区間内で保持されるリーマン-スティルチェスの可積分性
- 関数の大小関係に基づく積分の大小関係
- 収束する実数列の性質
- 微分可能ならば連続である
- 微分可能な関数の性質
- 解析学における極値の定義と微分係数との関係
- 解析学における微分の連鎖律
- 解析学における平均値定理
- 導関数と関数の増減の関係
- 解析学において厳密に定義される左極限と右極限
- 不連続性の分類
- 解析学における微分積分学の基本定理2
- 部分積分法
- 曲線の長さを測定する方法
- 曲線の導関数が連続であれば、その曲線の長さを測定できる
- 均等収束の必要十分条件
- オイラー定数、自然定数eの定義
- 単調数列と単調数列定理
- 発散する実数列の性質
- 関数列の一様収束と連続性
- 不適切積分の定義
- 部分列の極限と数列の収束性
- 部分列
- 関数列の一様収束と微分可能性
- 関数列の一様収束と積分可能性
- 冪級数の収束半径
- 冪級数の微分
- 冪級数の収束성
- 멱급수의 적분