実数の集合と空集合は開いていると同時に閉じている
定理
$\mathbb{R}$と$\emptyset$は開いていると同時に閉じている。
説明
実数$\mathbb{R}$上でいくつかの開区間の合併を開集合という。例として$(-1,0) \cup (2,3)$は当然開集合であり、$(0,1)$や$\mathbb{R}$もまた開集合である。一方、閉じているということは開いていることを通じて定義される。ある実数の部分集合$C$に対して$R \setminus C$が開いているならば、$C$を閉集合という。提示された定理にもすでに述べられているように、開いていることと閉じていることは互いに排他的ではない。したがって「開いている」は「閉じていない」ではなく、同様に「閉じている」は「開いていない」ではない。実数の集合と空集合にこの二つの状態が重なっているということは、非常に興味深い話にほかならない。
証明
Part 1. $\mathbb{R}$と$\emptyset$は開集合
$\mathbb{R} = (- \infty , \infty)$は$\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n-1,n+1) = ( - \infty , \infty)$のように表せるので開集合である。
$$ \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \emptyset} A_{\alpha} = \emptyset $$
空集合は開区間を$0$個だけ合併したものなので、定義により開集合であることがわかる。[ NOTE: 空虚な真が気に入らなかったり腑に落ちなかったりする場合は、ある実数$x \in \mathbb{R}$に対して$(x,x) = \emptyset$であることを考えてみよう。]
Part 2. $\mathbb{R}$と$\emptyset$は閉集合
$\emptyset = \mathbb{R} \setminus \mathbb{R}$が開いているので、$\mathbb{R}$は閉じている。
$\mathbb{R} = \mathbb{R} \setminus \emptyset$が開いているので、$\emptyset$もまた閉じている。
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系
$\mathbb{R^n}$と$\emptyset$は開いていると同時に閉じている。
一方、この定理は全体空間が$\mathbb{R}^{n}$として与えられたときも成立する。