積分の平均値の定理
定理
閉区間$[a,b]$で関数$f$が連続であるとすると、$\displaystyle f(c) = {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx$を満たす$c$が$(a,b)$に少なくとも一つ存在する。
説明
平均値の定理と似ているが、文字通り積分に使われるためこのような名前が付いた。使い方もまた非常に似ており、有用性も決して平均値の定理に劣らない。一方、関数の平均値を右辺のように定義することを考えてみると、むしろこちらの方が平均値の定理であり、元々広く知られている平均値の定理が「微分の平均値の定理」と呼ばれるのが妥当かもしれない。
証明
Strategy: $f$の連続性が仮定されているので、最大最小値の定理と中間値の定理を使う。
$f$が$[a,b]$で連続であり、最大最小値の定理により最小値$m$と最大値$M$が存在するので
$$ \int_{a}^{b} m dx \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} M dx $$
$$ \implies m \le {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx \le M $$
もう一度、$f$が$[a,b]$で連続なので、中間値の定理により$m$と$M$の間の$\displaystyle {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx$に対して$f(c) = \displaystyle {{1}\over {b-a} } \int_{a}^{b} f(x) dx$を満たす$c$が$a$と$b$の間に少なくとも一つ存在する。
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一方、全く同じ方法で、次のように重み$w$に対して一般化できる。上で紹介された形は$w(x) = 1$の場合であり、$\displaystyle \int_{a}^{b} dx = b - a$となって下の定理によくカバーされる。
系
閉区間$[a,b]$で関数$f$が連続であり、$w(x) \ge 0$が積分可能ならば、$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) w(x) dx = f( \xi ) \int_{a}^{b} w(x) dx$を満たす$\xi$が$(a,b)$に少なくとも一つ存在する。