実数の稠密性の証明
定理
二つの実数$a<b$に対して、$a<r<b$を満たす$r \in \mathbb{R}$が存在する。
説明
実数上ではどんな区間を考えても、その間には必ずまた別の実数が存在する。どれほど小さく分割しても、そこにはさらに分割できる点があるということだ。当然に見えるが、これは当然ではないだけでなく、非常に抽象的な性質であることも心に留めておこう。例えば、物理学で扱う物質やエネルギーでさえ、小さく小さく分割していくとその限界がある。
証明
戦略: 証明は有理数と無理数についてそれぞれ分けて行う。二つの実数の間に有理数が存在し、同時に無理数も存在すれば、証明は完了する。一般性を失わずにwithout loss of generalityという表現は、証明に登場する正の数がいつでも実数の差として表せるため、あえて$0$以下の数を考えないために言及される。例えば、証明が二つの負の数$c < d < 0$から始まっても、等号さえ成り立たなければ$d - c > 0$のように正の数を作ることができる。
必要な核心的前提は以下の通りである。
体の公理:
- (A1) 加法に対する閉性: $a+b \in \mathbb{R}$
- (A5) 加法に対する逆元: $a + (-a) = (-a) + a = 0$を満たす$(-a)$が存在
- (M1) 乗法に対する閉性: $a\cdot b \in \mathbb{R}$
- (M5) 乗法に対する逆元: $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$を満たす${a^{-1}}$が存在
- (D) 分配法則: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
順序公理:
- 加法性: $a<b$かつ$c\in \mathbb{R}$ならば$a+ c< b + c$
- 乗法性: $a<b$かつ$c>0$ならば$ac< bc$、あるいは$c<0$ならば$ac> bc$
Part 1. 有理数の稠密性 1
$a<q<b$を満たす$q \in \mathbb{Q}$が常に存在することを示そう。まず一般性を失わずに、$0 < a < b$を満たす正の数$(b-a) > 0$と実数$1 \in \mathbb{R}$を考えると、アルキメデスの原理の不等式を満たす自然数の集合$\left\{ n \in \mathbb{N} : (b-a) n > 1 \right\}$が存在し、加法に対する逆元の存在性、閉性と分配法則、加法性により $$ bn-an > 1 \implies an + 1 < bn \implies an < an + 1 < bn $$ であることがわかる。$an$と$bn$はその差が$1$より大きいため、その間には少なくとも一つの整数が存在し、それを$m$とおけば $$ an < m < bn $$ である。各辺に$n$の乗法に対する逆元$n^{-1}$を掛けると次を得る。 $$ a < {{ m } \over { n }} < b $$ ここで$\displaystyle q := {{ m } \over { n }}$とおくと、$q$はまさに「自然数の比」である有理数であり、次の不等式を得る。 $$ a < q < b $$
Part 2. 無理数の稠密性
$a<\xi<b$を満たす$\xi \in \mathbb{Q^{c}}$が常に存在することを示そう。一般性を失わずに、$0 < a < b$を満たす実数と無理数$c>0$を考えると、乗法性により$a<b$ならば$ac<bc$である。実数は乗法に対して閉じているので$ac$と$bc$もまた実数であり、有理数の稠密性により$ac<q<bc$を満たす有理数$q \ne 0$が存在する。$ac<q<bc$の各辺に$c$の乗法に対する逆元$\displaystyle {1 \over c}$を掛けると次のようになる。
$$ a<{q \over c}<b $$
ここで$\displaystyle \xi := {q \over c}$とおくと、$\xi$は$0$でない有理数と無理数の積なので無理数であり、次の不等式を得る。
$$ a<\xi<b $$
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