📂解析学

解析学の三つの公理：3 完備性公理

公理¹

集合$E \subset \mathbb{R}$が空集合でなく、$E$が上に有界ならば、上限$\sup(E) < \infty$が存在する。

説明

体の公理と順序の公理はすでに知っていたことを難しく書き直したものだったが、完備性公理は一見そうではない。まず、ここに登場する単語について定義が必要そうだ。

定義

$E$のすべての元$a$に対して$a \le M$が成り立つならば、$E$を上に有界^{bounded above}という。この条件を満たす$M$をすべて$E$の上界^{upper bound}と呼ぶ。$\sup(E)$は$E$の最小の上界を指し、$E$のすべての上界$M$に対して$\sup (E) \le M$を満たす数である。これを$E$の最小上界^{supremum、上限}と呼ぶ。

反対の不等号の場合は以下のようになる。

$E$のすべての元$a$に対して$a \ge m$が成り立つならば、$E$を下に有界^{bounded below}という。この条件を満たす$m$をすべて$E$の下界^{lower bound}と呼ぶ。$\inf(E)$は$E$の最大の下界を指し、$E$のすべての下界$m$に対して$\inf (E) \ge m$を満たす数である。これを$E$の最大下界^{infimum、下限}と呼ぶ。

---

急に定義がいくつも押し寄せて混乱するかもしれないが、本質的に我々の概念を揺るがすものではない。ただ、ある集合がどんなときに限界を持つといい、そのとき限界を何と呼ぶのかを定義しているだけだ。

再び完備性公理に戻ってみると、完備性公理は上で紹介した定義を繰り返している感じがする。違いは簡単だ。定義ではあくまで存在するときに何と呼ぶかを述べているだけで、本当に存在するのかは語っていない。完備性公理はその「存在性」について語っているのである。

ところが、果たしてこれが公理であるべきなのかという疑問が湧くだろう。わざわざ公理にしなければならないほど基本的な事実なのだろうか。証明できないのか。定義を読んでみると、定義により当然このような上限が存在し、証明できそうに見えるが、そうではない。

反証

$E$が上に有界だといったのだから、条件を満たす上界$M$たちがあるはずで、上界$M$たちの中にはそのうち最も小さい値が存在して、上限$\sup(E)$が存在するはずだ。ところが、裏返して考えてみると、$\sup(E)$は$-M$たちの中で最も大きい値、すなわち上限である。そもそも最も小さい値が存在するという主張自体が、上限の存在性を根拠にしたものだ。これにより循環論法に陥らざるを得ない。

■

---

上であれ下であれ、大きかろうが小さかろうが、方向が反対なだけで論証はぐるぐる回ることになる。結局、我々はこのような上限あるいは下限の存在性を明らかにすることができないのだ。したがって、完備性公理という新しい公理を作り出すしかなかった。

定理

整数の集合$\mathbb{Z}$の部分集合$E$が上限を持つならば$\sup(E) \in E$

---

完備性公理がなければ、このように当然な事実さえその仮定が疑わしいため信じることができない。

Complete?

完備はCompleteの訳語で、実数空間$\mathbb{R}$を越えて距離空間で一般化されるとき、コーシー数列の収束する点を含む空間を完備空間と定義する。ただし、日常の中で英単語Completeは完全に(完)備える(備)という表現として使われることはなく、「完了」や「完結」など、続いていく何かのその終わりとともに使われる場合が多い。これは述べたように、数列のその終わり、すなわち収束点が(その空間の中に)存在することを保証するという点で、completeという表現が適切であることが分かる。

もちろん、コーシー数列を取ることと$E \subset \mathbb{R}$を取ることは異なるが、$\mathbb{R}$は可分性を持つといった説明はまだ早すぎる。後でそういうものをまた学ぶのだなと思って読み飛ばしても構わない。