📂解析学

カントールの縮小区間定理

定義¹

集合の数列 $\left\{ S_{n} \right\}_{n=1}^{\infty}$ がすべての自然数 $n$に対して $S_{n+1} \subset S_{n}$ を満たすとき、入れ子^nestedになっているという。

説明

入れ子という訳語はあまり滑らかではないが、これといった代案がないので、単にネスティッド(Nested)として覚えることをおすすめする。

定理

入れ子になった区間 $[a_{n}, b_{n}]$ に対して次が成り立つ。

(a) $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] \ne \emptyset$

(b) 特に $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ ならば $\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}]$ は一元集合である。

一元集合とは要素がただ一つしか存在しない集合をいう。

証明

(a)

仮定によりすべての自然数 $n$に対して

$$ [a_{n+1} , b_{n+1} ] \subset [a_{n} , b_{n} ] \\ a_{1} \le a_{n} \le b_{n} \le b_{1} $$

完備性公理により、二つの数

$$ a:=\sup \left\{ a_{n} \right\} \\ b:=\inf \left\{ b_{n} \right\} $$

が存在する。すべての自然数に対して $a_{n} \le a \le b \le b_{n}$ が成り立ち、$[a,b] \subset [a_{n} , b_{n} ]$ であるから

$$ \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] \ne \emptyset $$

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(b)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ を仮定すると $a=b$ であるから

$$ \bigcap_{n=1}^{\infty} [a_{n}, b_{n}] = \left\{ a \right\} = \left\{ b \right\} $$

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関連リンク

• 距離空間におけるカントールの縮小区間定理