フレネル正弦積分のマクローリン展開
公式
$$ S(x) = \sqrt{{2} \over {\pi}} \int_{0}^{x} \sin (w^2) dw = \sqrt{{2} \over {\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} {{(-1)^{n}} \over {(2n+1)! (4n+3)}} x^{4n+3} $$
説明
フレネルは光学を研究した物理学者であり、彼の名が付いた結果を見ると、たいていは三角関数が関連している。やはり三角関数は波動関数と深い関わりがあるため、存在しない公式は作り出してでも研究しなければならなかっただろう。
これらの研究が光学にどのように貢献したのかはわからないが、少なくとも三角関数に対する微積分に相当な貢献を残したことは確かである。
証明
正弦関数のマクローリン展開は$\displaystyle \sin x = x - {{x^{3}} \over {3!}} + {{x^{5}} \over {5!}} + {{x^{7}} \over {7!}} + \cdots$である。したがって、
$$ \sin x^2 = x^2 - {{x^{6}} \over {3!}} + {{x^{10}} \over {5!}} + {{x^{14}} \over {7!}} + \cdots $$
ゆえに、
$$ \begin{align*} S(x) =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \int_{0}^{x} \sin (w^2) dw \\ =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \int_{0}^{x} \left( w^2 - {{w^{6}} \over {3!}} + {{w^{10}} \over {5!}} + {{w^{14}} \over {7!}} + \cdots \right) dw \\ =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \left( {{1}\over{3}} {{x^{3}} \over {1!}} - {{1}\over{7}}{{x^{7}} \over {3!}} + {{1}\over{11}}{{x^{11}} \over {5!}} + {{1}\over{15}}{{x^{15}} \over {7!}} + \cdots \right) \\ =& \sqrt{{2} \over {\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} {{(-1)^{n}} \over {(2n+1)! (4n+3)}} x^{4n+3} \end{align*} $$
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