함수열의 균등수렴과 적분가능성
定理1
区間 $[a, b]$で積分可能な関数列 $\left\{ f_{n} : f_{n} \text{ is integrable on } [a, b] \right\}$が $[a, b]$で $f$へ一様収束するとしよう。 $$ f_{n} \rightrightarrows f $$ すると $f$も $[a, b]$で積分可能で次が成り立つ。 $$ \int_{a}^{b} f dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} dx \tag{1} $$
説明2
定理の結果を一言で表すと「極限の積分と積分の極限が等しい」である。すなわち、極限記号と積分記号の順序を入れ替えることが可能である。
$$ \int_{a}^{b} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx $$
積分に関して関数列の 一様収束 を考える理由は、点ごとの収束は積分可能性を保存しないからである。言い換えれば、積分可能な $f_{n}$が $f$に点ごと収束したとしても $f$が積分可能であることを保証しない。あるいは積分可能性が保存されたとしてもその積分値自体が等しくない場合がある。以下に反例を示す。
反例
区間 $[0, 1]$で $f_{n} \to f$であるが、
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n} (x) dx \ne \int_{0}^{1} \left( \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) dx $$
が成り立つような連続関数 $f_{n}$と $f$が存在する。
証明
$f_{1}(x) = 1$とする。$n \gt 1$に対して、$f_{n}$を次のように底辺の長さが $\dfrac{2}{n}$、高さが $n$の三角形のグラフを描くように定義しよう。 $$ f_{n}(x) = \begin{cases} n^{2}x & \text{if } 0 \le x \lt \frac{1}{n} \\ 2n - n^{2}x & \text{if } \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\ 0 & \text{if } \frac{2}{n} \lt x \le 1 \end{cases} $$
区間 $[0, 1]$で $f_{n}$は $0$に点ごと収束するので、
$$ \int_{0}^{1} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(x) dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0 $$
しかし $f_{n}$のグラフが描く三角形の面積は常に $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{n} \times n = 1$であるので、
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) dx = 1 $$
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証明
$f$は積分可能である。
$\varepsilon_{n} = \sup\limits_{x} \left| f_{n}(x) - f(x) \right|$とおけば次が成り立つ。
$$ f_{n} - \varepsilon_{n} \le f \le f_{n} + \varepsilon_{n} $$
すると $f$のリーマン上積分と下積分について次が成り立つ。
$$ \implies \underline{\int} (f_{n} - \varepsilon_{n}) dx \le \underline{\int} f dx \le \overline{\int} f dx \le \overline{\int} (f_{n} + \varepsilon_{n}) dx $$
$f_{n}$は積分可能なので $\displaystyle \left( \underline{\int} f_{n} = \int_{a}^{b} f_{n}= \overline{\int} f_{n} \right)$,
$$ \int_{a}^{b} (f_{n} - \varepsilon_{n}) dx \le \underline{\int} f dx \le \overline{\int} f dx \le \int_{a}^{b} (f_{n} + \varepsilon_{n}) dx \tag{2} $$
$$ \implies 0 \le \overline{\int} f dx - \underline{\int} f dx \le \int_{a}^{b} 2\varepsilon_{n} dx = 2 \varepsilon_{n} (b-a) $$
$f_{n} \rightrightarrows f$であるから $\lim\limits_{n \to \infty} \varepsilon_{n} = 0$である。したがって上積分と下積分が等しく、これは $f$がリーマン積分可能であることを意味する。
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$(1)$が成り立つ
$f$が積分可能であるから $(2)$より次を得る。
$$ \int_{a}^{b} f dx \le \int_{a}^{b} f_{n} + \varepsilon_{n} dx $$
$$ \implies \left| \int_{a}^{b} f dx - \int_{a}^{b} f_{n} dx \right| \le \varepsilon_{n} (b-a) $$
$\lim\limits_{n \to \infty} \varepsilon_{n} = 0$であるから、$\lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} dx = \int_{a}^{b} f dx$である。
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