📂位相幾何学

位相数学における座標系とは

定義

$M$を$n$次元の多様体としよう。二つの開集合 $U\subset M$、$\tilde{U} \subset \mathbb{R}^n$と位相同型写像 $\phi\ :\ U \rightarrow \tilde{U}$が与えられたとする。そうしたら、順序対 $(U, \phi)$を$M$の上の座標系と言うか、単に**座標$(\mathrm{Chart})$**と言う。

説明

もし $p \in U$、$\phi (p)=0$ならば、$(U,\phi)$は$p$で中心と言われる。また、$U$を座標領域(コーディネート・ドメイン)あるいは座標近傍(コーディネート・ネイバーフッド)と呼ぶ。$\phi (U)$が$\mathbb{R}^n$での開いた球ならば、$U$を座標球(コーディネート・ボール)と言う。$\phi$は座標マップと呼ばれており、$U$が全集合ではないことを強調する場合は、ローカル座標マップと言う。同様にチャート $(M,\phi)$に対して$\phi$をグローバル座標マップと呼ぶ。