カルノーの定理の証明
定理
カルノー機関よりも効率が高い機関は存在しない。
説明
カルノー機関を実際に実現することはできないけど、理論的な限界を意味する点で非常に意義がある。
証明
カルノー機関 $C$より効率が高い機関 $E$が存在すると仮定しよう。
$E$は熱 $Q_{h} ' $を受け、$W$だけの仕事をし、$C$は熱 $Q_{l}$と仕事 $W$を受けて熱 $Q_{h}$を出す。
二つの機関を一つと見る場合、$E + C$は熱 $Q_{h}’ - Q_{h}$を受けて熱 $Q_{l}’ - Q_{l}$を出す。
熱力学の第一法則 $$ d U = \delta Q + \delta W $$
熱力学の第一法則から、内部エネルギーの変化、つまり仕事は熱エネルギーの変化にのみ依存するから、次のようになる。
$$ W = Q_{h}’ - Q_{l} ' = Q_{h} - Q_{l} $$
$h$と$l$にそれぞれ整理すると、次のようになる。
$$ Q_{h}’ - Q_{h} = Q_{l}’ - Q_{l} $$
一方、$C$と$E$の効率は$\eta_{C} < \eta_{E}$で、$C$はカルノー機関なので、次のようになる。
$$ \eta_{C} = 1 - \dfrac{Q_{l}}{Q_{h}} $$
したがって、次の不等式が成立する。
$$ {{W} \over {Q_{h}}} = {{Q_{h} - Q_{l}} \over {Q_{h}}} = \eta_{C} < \eta_{E} = {{W} \over {Q_{h}’ }} $$
両端から$W$を消去し、逆数を取ると、次のようになる。
$$ Q_{h}’ < Q_{h} $$
つまり、$Q_{h}’ - Q_{h} < 0$であるが、$Q_{l}’ - Q_{l} = Q_{h}’ - Q_{h}$でもあったので、熱が低い方から高い方へ流れると分かる。
クラウジウス： 自ら冷たい側から熱い側へ熱を送る過程は存在しない。
これはクラウジウスの熱力学の第二法則に反するので、背理法により仮定が間違っていたことが分かる。従って、$E$のようにカルノー機関より効率が高い機関は存在しない。
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