線形代数

線形代数の内容の中でも特に一般ベクトル空間に関する内容を中心に扱い、有限次元を主にした線形変換、実内積空間の内容を含む。行列に関する内容は行列代数カテゴリーで見つけることができる。同じ内容であっても線形代数カテゴリーの記事がより抽象的で難しい場合がある。

ベクトル空間

• ベクトル空間の定義
  • 部分空間
  • フラッグ
• 線形結合、生成
  • 和集合の生成は生成の和と同じ $\span(S_{1} \cup S_{2}) = \span(S_{1}) + \span(S_{2})$
• 線形独立と線形従属
  • ロンスキアンの定義と独立従属判定
  • アフィン独立
• 基底
  • 基底の加算/減算の定理
  • 有限次元ベクトル空間で基底であるための必要十分条件
  • 基底の拡張と縮小
  • 順序基底と座標ベクトル
  • ベクトルの座標変換 $[\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}$
  • 線形変換の座標変換 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}} = Q^{-1} \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} Q$
• 次元
• 和 $+$
• 直和 $\oplus$
  • 直和の性質
• 凸集合
• 行列ベクトル空間
• 多項式ベクトル空間

剰余類と商空間

• 剰余類と商空間 $v + W$, $V/W$
• 商空間の基底と次元
• 商空間への写像 $\eta : V \to V/W$
• 商空間上の線形変換 $\overline{T} : V/W \to V/W$
• 線形変換と商空間への写像の特性多項式間の関係
• 対角化可能な線形変換の商空間上の変換も対角化可能である

線形変換

• 線形変換 $T : V \to W$
  • 合成
  • 逆変換 $T^{-1} : W \to V$
  • 零空間と値域 $N(T)$, $R(T)$
  • ランク、無効次元、次元定理 $\dim(N(T)) + \dim(R(T)) = \dim(V)$
  • ノルム
  • 行列表現 $\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$
    • 和とスカラー倍の行列表現
    • 部分空間の基底から拡張された基底に対する線形変換の行列表現
  • 左乗算変換(行列変換)
  • トレース $\tr$
• 単射、全射であるための必要十分条件
• 定義域の基底は線形変換の像を生成する
• 二つの有限次元ベクトル空間間の線形変換
• 同型写像
  • すべての$n$次元実ベクトル空間は$\mathbb{R}^{n}$と同型である
  • 線形変換空間とその行列表現空間は同型である
• 線形変換空間 $L(V,W)$, $\operatorname{Hom}(V,W)$, $\operatorname{End}(V)$
  • 可逆線形変換空間の性質
• 値域がカーネルより小さい同値条件
• 冪零 $T^{k} = 0$
  • 冪零の固有値は0のみである
  • 零空間の性質

固有値と対角化

• 対角化可能な線形変換
• 固有値、固有ベクトル $Tv = \lambda v$
  • 異なる固有値に対応する固有ベクトルは線形独立である
  • 固有値の重複度
  • 固有空間 $E_{\lambda}$, 固有値の幾何学的重複度
  • 異なる固有空間の線形独立な集合の合集は線形独立である
  • 線形変換の対角化可能性と固有値の重複度、固有空間の関係
• 特性多項式 $f(t) = \det(T - tI)$
  • 対角化可能な線形変換の特性多項式は分解される
  • ケーリー・ハミルトンの定理 $f(T) = T_{0}$
  • 特性多項式が分解されるための必要十分条件
• 不変部分空間
  • 不変部分空間と固有ベクトルの関係
  • 対角化可能な線形変換の不変部分空間への縮小写像も対角化可能である
  • 線形変換が対角化可能であるための十分条件
  • 不変部分空間の直和とその特性多項式
• 巡回部分空間

積分変換

• 積分変換
• コンボリューションの一般的な定義

双対空間

• 線形汎関数
  • 連続であるための必要十分条件
  • 線形独立の組み合わせで表されるための必要十分条件
• 一次形式
• 二次形式
  • 🔒 (24/06/19) 二次形式が$0$となるための必要十分条件
  • 🔒 (24/07/29) 正定値行列の固有値と二次形式の最大値
• 双線形形式とエルミート形式
• 双対空間
• 二重双対空間
• 反射空間
• 双対空間で定義される線形変換の転置

テンソル

• ベクトル空間のテンソル積 $V \otimes W$
• 積ベクトル $v \otimes w$
• テンソル積の普遍性質
• 線形変換のテンソル積 $\phi \otimes \psi$
• テンソル積の行列表現 $\begin{bmatrix} \phi \otimes \psi \end{bmatrix}_{\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}}^{{\mathcal{V}}^{\prime} \otimes \mathcal{W}^{\prime}}$
• テンソル積と双対空間 $V^{\ast} \otimes W^{\ast} \cong (V \otimes W)^{\ast}$
• テンソル積の転置 $(\phi \otimes \psi)^{t}$

内積空間

• 実ベクトル空間での内積とは？
• 直交補空間
• 直交性と線形独立の関係
• 直交基底に対する相対座標
• 線形代数での射影定理
• グラム・シュミットの直交化
• 線形代数学でのノルムまたはノルムとは
• ノルムの同値関係
• ヘルダーの不等式
• ミンコフスキーの不等式

主要参考文献

• Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (第4版, 2002年)
• Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Applications Version (第12版, 2019年)