線形代数
線形代数の内容の中でも特に一般ベクトル空間に関する内容を中心に扱い、有限次元を主にした線形変換、実内積空間の内容を含む。行列に関する内容は行列代数カテゴリーで見つけることができる。同じ内容であっても線形代数カテゴリーの記事がより抽象的で難しい場合がある。
ベクトル空間
剰余類と商空間
- 剰余類と商空間 $v + W$, $V/W$
- 商空間の基底と次元
- 商空間への写像 $\eta : V \to V/W$
- 商空間上の線形変換 $\overline{T} : V/W \to V/W$
- 線形変換と商空間への写像の特性多項式間の関係
- 対角化可能な線形変換の商空間上の変換も対角化可能である
線形変換
- 線形変換 $T : V \to W$
- 単射、全射であるための必要十分条件
- 定義域の基底は線形変換の像を生成する
- 二つの有限次元ベクトル空間間の線形変換
- 同型写像
- 線形変換空間 $L(V,W)$, $\operatorname{Hom}(V,W)$, $\operatorname{End}(V)$
- 値域がカーネルより小さい同値条件
- 冪零 $T^{k} = 0$
- 冪零の固有値は0のみである
- 零空間の性質
固有値と対角化
- 対角化可能な線形変換
- 固有値、固有ベクトル $Tv = \lambda v$
- 特性多項式 $f(t) = \det(T - tI)$
- 対角化可能な線形変換の特性多項式は分解される
- ケーリー・ハミルトンの定理 $f(T) = T_{0}$
- 特性多項式が分解されるための必要十分条件
- 不変部分空間
- 不変部分空間と固有ベクトルの関係
- 対角化可能な線形変換の不変部分空間への縮小写像も対角化可能である
- 線形変換が対角化可能であるための十分条件
- 不変部分空間の直和とその特性多項式
- 巡回部分空間
積分変換
双対空間
テンソル
- ベクトル空間のテンソル積 $V \otimes W$
- 積ベクトル $v \otimes w$
- テンソル積の普遍性質
- 線形変換のテンソル積 $\phi \otimes \psi$
- テンソル積の行列表現 $\begin{bmatrix} \phi \otimes \psi \end{bmatrix}_{\mathcal{V} \otimes \mathcal{W}}^{{\mathcal{V}}^{\prime} \otimes \mathcal{W}^{\prime}}$
- テンソル積と双対空間 $V^{\ast} \otimes W^{\ast} \cong (V \otimes W)^{\ast}$
- テンソル積の転置 $(\phi \otimes \psi)^{t}$
内積空間
- 実ベクトル空間での内積とは?
- 直交補空間
- 直交性と線形独立の関係
- 直交基底に対する相対座標
- 線形代数での射影定理
- グラム・シュミットの直交化
- 線形代数学でのノルムまたはノルムとは
- ノルムの同値関係
- ヘルダーの不等式
- ミンコフスキーの不等式
主要参考文献
- Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (第4版, 2002年)
- Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Applications Version (第12版, 2019年)
全體ポスト
- ベクトル空間の定義
- ベクトル空間の部分空間
- 線形結合、生成
- 線形独立と線形従属
- ベクトル空間の次元
- ベクトル空間における直和
- グラム-シュミット直交化
- ヴロンスキアンの定義と線形独立の判断
- 線形代数学においてノルムとは何か?
- ヘルダーの不等式
- 部分空間の直交補空間
- ノルムの同値関係
- ミンコフスキー不等式
- 線形汎関数が連続であるための必要十分条件
- 線形汎関数が線形独立結合で表されるための必要十分条件
- 双対空間
- ベクトル空間のリフレクシブ
- 積分変換
- 畳み込みの一般的な定義
- ベクトル空間における凸集合
- 一次形式
- ベクトル空間の基底
- 線形代数での射影定理
- 有限次元ベクトル空間における基底となるための必要十分条件
- 線形変換
- 実ベクトル空間における内積とは?
- 直交性と線形独立の関係
- 基底の加算/減算定理
- 直交基底に関する座標
- 定義域の基底は線形変換の像を生成する
- 線形変換:カーネルと値域
- 線形変換の階数、零空間の次元、次元定理
- 線形変換が全射および単射であるための必要十分条件
- 線形変換の合成
- 線形変換のノルム
- 可逆線型変換の空間の性質
- 線形変換の行列表現
- すべてのn次元実ベクトル空間はR^nと同型である
- 線形変換のトレース
- 有限次元ベクトル空間間の線形変換
- 順序基底と座標ベクトル
- 線形汎関数
- 線形変換空間
- 線形変換の逆
- 同型写像
- 線形変換空間とその行列表現空間は同型である
- 双対空間によって定義される線形変換の転置
- 二重対双対空間
- 線形変換の値域が核よりも小さい場合の同値条件
- 基底の拡張と縮小
- 部分空間の基底から拡張された基底への線形変換の行列表現
- 行列空間
- 左乗算変換(行列変換)
- ベクトルの座標変換
- 線形変換の基底変換(座標変換)
- 有限次元の線形変換の固有値と固有ベクトル
- 線形変換の特性多項式
- 対角化可能な線型変換
- 異なる固有値に対応する固有ベクトルは線形独立である
- 多項式ベクトル空間
- 対角化可能な線形変換の特性多項式は因数分解される
- アフィン独立の定義
- 線形変換の固有値の重複度
- 線形変換の固有空間と幾何的重複度
- 異なる固有空間からの線形独立な集合の和集合は線形独立である
- ベクトル空間の不変部分空間
- 不変部分空間と固有ベクトルの関係
- 対角化可能な線形変換の不変部分空間への制限も対角化可能である
- 線形代数学における剰余類と商空間
- 商空間の基底と次元
- 商空間への写像
- 商空間上の線形変換
- 線形変換と商空間への写像の特性多項式間の関係
- 対角化可能な線形変換の商空間上の変換も対角化可能である
- ベクトル空間における部分空間の和
- 直和の性質
- 合併の生成は生成の和と等しい
- 線形変換の対角化可能性と固有値の重複度、固有空間との関係
- 累乗級数の線形変換
- 零行列の固有値はゼロのみである
- べき乗写像の零空間
- ベクトル空間の巡回部分空間
- ケイリー・ハミルトンの定理
- 不変部分空間の直和とその特性多項式
- 線形代数学におけるフラグとは?
- ベクトル空間のテンソル積
- テンソル積の積ベクトル
- テンソル積の普遍的性質
- 線形変換のテンソル積
- テンソル積の行列表現
- 線形変換の和とスカラー倍の行列表現
- 二次形式
- 双線形形式とエルミート形式
- 二次形式が0になるための必要十分条件
- 正定値行列の固有値と二次形式の最大値
- コーンと凸コーンの定義