📂線形代数

線形変換と商空間への写像の特性多項式間の関係

定理¹

$V$を$n$次元ベクトル空間とする。$T : V \to V$を線形変換、$W \le V$を$T$-不変部分空間、$T|_{W}$を縮小写像、$\overline{T}$を商空間上の線形変換とする。

$$ T|_{W} : W \to W \\ \overline{T} : V/W \to V/W $$

$f(t), g(t), h(t)$をそれぞれ$T, T|_{W}, \overline{T}$の特性多項式とする。すると次が成り立つ。

$$ f(t) = g(t)h(t) $$

系

• $T|_{W}$の特性多項式は$T$の特性多項式を割り切る

証明

$\gamma = \left\{ v_{1}, \dots, v_{k} \right\}$を$W$の順序基底とする。$\beta = \left\{ v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k+1}, \dots, v_{n} \right\}$を$\gamma$から拡張された$V$の基底とする。すると商空間の基底は$\alpha = \left\{ v_{k+1} + W, \dots, v_{n}+W \right\}$である。また次が成り立つ。

$$ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma} & A \\ O & B \end{bmatrix} $$

ここで$B = \begin{bmatrix}\ \overline{T}\ \end{bmatrix}_{\alpha}$であることを示す。まず上の行列を書き直すと、

$$ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \left[ \begin{array}{c|c} \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma} & \begin{array}{ccc} t_{1,k+1} & \cdots & t_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{k,k+1} & \cdots & t_{kn} \end{array} \\ \hline O & \begin{array}{ccc} t_{k+1,k+1} & \cdots & t_{k+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{n,k+1} & \cdots & t_{nn} \end{array} \end{array} \right] $$

$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$の$k+1$番目の列の成分を求めてみよう。行列表現を見つけるためには基底がどのような元へ写されるかを見ればよい。$Tv_{k+1}, \dots, Tn_{n}$が次のような線形結合で表されるとする。

$$ Tv_{k+1} = \sum_{i=1}^{n} a_{i,k+1}v_{i},\quad \dots,\quad Tv_{n} = \sum_{i=1}^{n} a_{in}v_{i} $$

すると

$$ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \left[ \begin{array}{c|c} \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma} & \begin{array}{ccc} a_{1,k+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k,k+1} & \cdots & a_{kn} \end{array} \\ \hline O & \begin{array}{ccc} a_{k+1,k+1} & \cdots & a_{k+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,k+1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \end{array} \right] $$

ここで$\begin{bmatrix}\ \overline{T}(v_{k+1} + W) \end{bmatrix}_{\alpha}$を求めてみよう。$v_{1}, \dots, v_{k} \in W$なので、$av_{i} \in W\ (1 \le i \le k)$であり、$av_{i} + W = W\ (1 \le i \le k)$である。$W$は$V/W$における零ベクトルなので、

$$ \begin{align*} \overline{T}(v_{k+1} + W) &= T(v_{k+1}) + W \\ &= \left( \sum_{i=1}^{n}a_{i,k+1}v_{i} \right) + W \\ &= \left( a_{1,k+1}v_{1} + W \right) + \cdots + \left( a_{k,k+1}v_{k} + W \right) \\ &\quad + \left( a_{k+1,k+1}v_{k+1} + W \right) + \cdots + \left( a_{n,k+1}v_{n} + W \right)\\ &= \left( a_{k+1,k+1}v_{k+1} + W \right) + \cdots + \left( a_{n,k+1}v_{n} + W \right)\\ &= a_{k+1,k+1}\left( v_{k+1} + W \right) + \cdots a_{n,k+1}\left( v_{n} + W \right)\\ &= \sum\limits_{i=k+1}^{n}a_{i,k+1}\left( v_{i} + W \right) \end{align*} $$

なので$\begin{bmatrix}\ \overline{T}(v_{k+1} + W) \end{bmatrix}_{\alpha} = \begin{bmatrix} a_{k+1,k+1} \\ \vdots \\ a_{n,k+1}\end{bmatrix}$である。したがって次が成り立つ。

$$ \begin{bmatrix}\ \overline{T}\ \end{bmatrix}_{\alpha} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix}\ \overline{T}(v_{k+1} + W) \end{bmatrix}_{\alpha} & \cdots & \begin{bmatrix}\ \overline{T}(v_{n} + W) \end{bmatrix}_{\alpha}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{k+1,k+1} & \cdots & a_{k+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,k+1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

したがって$A = \begin{bmatrix} a_{1,k+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k,k+1} & \cdots & a_{kn} \end{bmatrix}$とすると、

$$ \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma} & A \\ O & \begin{bmatrix}\ \overline{T}\ \end{bmatrix}_{\alpha} \end{bmatrix} $$

$$ \implies \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} -\lambda I = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma} - \lambda I & A \\ O & \begin{bmatrix}\ \overline{T}\ \end{bmatrix}_{\alpha} - \lambda I \end{bmatrix} $$

ブロック行列の行列式

$A = \begin{bmatrix} A_{1} & A_{2} \\ O & A_{3} \end{bmatrix}$をブロック行列とする。すると次が成り立つ。

$$ \det A = \det A_{1} \det A_{3} $$

ゆえに

$$ f(t) = \det \left( \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta} -\lambda I \right) = \det \left( \begin{bmatrix} T|_{W} \end{bmatrix}_{\gamma} - \lambda I \right) \det \left( \begin{bmatrix}\ \overline{T}\ \end{bmatrix}_{\alpha} - \lambda I \right) = g(t)h(t) $$

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