📂線形代数

線形汎関数が連続であるための必要十分条件

定理¹

線形汎関数$f$が連続である。$\iff$ $\ker(f)$は$X$で閉集合である。

ここで$\mathcal{N} (f) = \ker (f) = \left\{ x \in X \ | \ f(x) = 0 \right\}$は線形変換$f$のカーネルである。

証明

戦略: $(\implies)$カーネルの定義に従って直接演繹する。$(\impliedby)$線形作用素の性質により、連続性の必要十分条件は有界性である。$f$が有界であることを示すのは比較的容易である。

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• $(\implies)$

  $x \in \overline { \ker (f) }$とすると、$n \to \infty$のとき$x_{n} \to x$となる$\ker (f)$の数列$\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$が存在する。$f$は連続であるから$\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = f(x)$であるが、$x_{n} \in \ker (f)$なので

  $$ 0 = \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = f(X) $$

  つまり$x \in \ker (f)$であるから

  $$ \overline{ \ker (f) } \subset \ker (f) $$

  もちろん$\ker (f) \subset \overline { \ker (f) }$なので$\ker (f) = \overline { \ker (f) }$であり、したがって$\ker (f) $は$X$で閉集合である。

• $(\impliedby)$

  $\| f \| = \infty$と仮定すると

  $$ \| y_{n} \| = 1 $$

  $$ \lim_{n \to \infty } |f(y_{n} ) | = \infty $$

  を満たす$X$の数列$\left\{ y_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$が存在する。

  一方$f \ne 0$なので、$f( x_{0 } ) \ne 0$となる$x_{0} \in X$が存在するはずである。ここで$\displaystyle e: = {{x_{0}} \over { f ( x_{0} ) }}$と置くと

  $$ f(e) = 1 $$

  新たに数列$\displaystyle z_{n} : = f(e) - {{ y_{n} } \over { f(y_{n}) }}$を定義すると

  $$ f(z_{n} ) = f(e) - {{ f ( y_{n} ) } \over { f(y_{n}) }} = 0 $$

  なので$z_{n } \in \ker (f)$であり、$n \to \infty$のとき$\displaystyle \| z_{n} - e \| = \left\| {{ y_{n} } \over { f(y_{n}) }} \right\| = \| {{ 1 } \over { f(y_{n}) }} \| \left\| y_{n} \right\| \to 0$であるから、

  $$ z_{n} \to e $$

  したがって$e \in \ker (f)$であり、$1 = f(e) = 0$となるが、これは矛盾である。

  線形作用素の性質

  $T$は連続 $\iff$ $T$は有界

  $\| f \| < \infty$ということは、つまり$f$が有界であるということであり、したがって$f$は連続である。

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