ミンコフスキーの不等式
定理
二つのベクトル$\mathbf{x}= (x_{1} , x_{2} , \dots , x_{n} )$、$\mathbf{y} = (y_{1} , y_{2} , \dots , y_{n} )$と$1$より大きい実数$p$に対して、次の式が成り立つ。
$$ \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}} $$
これをミンコフスキーの不等式minkowski’s inequalityという。
説明
ミンコフスキーの不等式は$p$-ノルムの定義において三角不等式に該当する。他にどのような証明方法があるかは分からないが、通常行うようにヘルダーの不等式を用いると循環論法になってしまう。これはヘルダーの不等式を記述する時点で$p$-ノルムが定義されていることを前提としているからであるが、本質的にヘルダーの不等式の証明にはこのようなノルムの性質は不要なので、適切に表現を直さなければならない。
証明
三角不等式により、次の式が成り立つ。
$$ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^p \le & \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} + \sum_{k=1}^{n} |y_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \\ =& \left| \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| + \left| \sum_{k=1}^{n} |y_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| \end{align*} $$
$\displaystyle {{1 } \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1$を満たす二つの定数$p, q>1$と$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^n$に対して
$$ \left| \sum_{k=1}^{n} u_{k} v_{k} \right| \le \left( \sum_{k=1}^{n} |u_{k}|^p \right)^{{1} \over {p}} \left( \sum_{k=1}^{n} |v_{k}|^q \right)^{{1} \over {q}} $$
ヘルダーの不等式により、次のようになる。
$$ \left| \sum_{k=1}^{n} |x_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| + \left| \sum_{k=1}^{n} |y_{k}| | x_{k} + y_{k} |^{p-1} \right| \\ \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{(p-1)q} \right)^{{1}\over{q}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{(p-1)q} \right)^{{1}\over{q}} $$
$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$なので$(p-1)q = p$であり、再び整理すると次のようになる。
$$ \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^p \le \left[ \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} \right] \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1}\over{q}} $$
両辺を$\left( \sum \limits_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1}\over{q}}$で割ると、次のようになる。
$$ \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^p \right) ^{1 - {{1} \over {q}}} \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1}\over{p}} $$
このとき$1 - \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{p}$なので、以下の結果を得る。
$$ \left( \sum_{k=1}^{n} | x_{k} + y_{k} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} \le \left( \sum_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}} + \left( \sum_{k=1}^{n} |y_{k}|^{p} \right)^{{1} \over {p}} $$
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