確率論
このカテゴリでは主に大学院生以上のレベルの難しい確率論を扱い、測度論や位相数学を使用しない直感的な確率論は数理統計学カテゴリに分けてある。難易度に応じて🔥マークが増え、1つなら測度論だけで十分であり、2つ以上なら測度論の中でも難しい測度論や位相数学まで使われたと見て良い。証明や導出過程が非常に複雑な場合にもマークが付く。
マーク | サブカテゴリ |
---|---|
🔥 | 難しい |
🔥🔥 | とても難しい |
🔥🔥🔥 | 非常に難しい |
- 測度論と確率論の要約: 基本的な定義と概念を1つの記事にまとめてある。
$$ \begin{array}{lll} \text{Analysts’ Term} && \text{Probabilists’ Term} \\ \hline \text{Measure space } (X, \mathcal{E}, \mu) \text{ such that } \mu (X) = 1 && \text{Probability space } (\Omega, \mathcal{F}, P) \\ \text{Measure } \mu : \mathcal{E} \to \mathbb{R} \text{ such that } \mu (X) = 1 && \text{Probability } P : \mathcal{F} \to \mathbb{R} \\ (\sigma\text{-)algebra $\mathcal{E}$ on $X$} && (\sigma\text{-)field $\mathcal{F}$ on $\Omega$} \\ \text{Mesurable set } E \in \mathcal{E} && \text{Event } E \in \mathcal{F} \\ \text{Measurable real-valued function } f : X \to \mathbb{R} && \text{Random variable } X : \Omega \to \mathbb{R} \\ \text{Integral of } f, {\displaystyle \int f d\mu} && \text{Expextation of } f, E(X) \\ f \text{ is } L^{p} && X \text{ has finite $p$th moment} \\ \text{Almost everywhere, a.e.} && \text{Almost surely, a.s.} \end{array} $$
測度論的確率論
厳密な定義
条件付き確率
- 確率変数の条件付き期待値 🔥🔥
- 条件付き期待値の性質 🔥🔥
- 条件付き期待値の平滑化性質 🔥🔥
- 条件付き単調収束定理 🔥🔥
- 条件付き優収束定理 🔥🔥
- 条件付きイェンセンの不等式 🔥🔥
- 確率変数の条件付き確率 🔥🔥
- 条件付き確率の性質 🔥🔥
- 条件付き分散 🔥🔥
- ブルックの補助定理の証明
確率過程
確率収束 🔥
確率論におけるレヴィの定理 🔥🔥🔥
二つの確率測度が等しくなる条件 🔥🔥🔥
タイトな確率測度 🔥🔥
確率論の混合定理 🔥🔥🔥
分布収束 🔥🔥🔥
連続写像定理 🔥🔥
確率過程論
- 確率過程とは? $X_{t}$
- 確率過程論での状態のタイプ
- 遷移確率 $p_{ij}$, $P(t)$
- 遷移確率の極限 $\pi_{j}$
- コルモゴロフ微分方程式 $P’(t) = Q P(t)$
- 一般化されたランダムウォーク
- ギャンブラーの破産問題
マルコフ連鎖
- 離散マルコフ連鎖 DTMC
- 連続マルコフ連鎖 CTMC
- チャップマン-コルモゴロフ方程式 $P^{(n+m)} = P^{(n)} P^{(m)}$
- ヒドゥンマルコフ連鎖
- 指数分布を通じたポアソン過程の定義
- 微分素行列を通じたポアソン過程の定義
- ギレスピーの確率シミュレーションアルゴリズム SSA
- 分岐過程
- ガルトン-ワトソン過程
ブラウン運動
マルチンゲール
- マルチンゲールの定義 🔥
- 確率過程論での停止時刻 🔥
- ドゥーブの最大不等式 🔥
- 確率過程論でのアップクロッシング 🔥
- サブマルチンゲール収束定理 🔥
- レギュラーマルチンゲールとクローザブルマルチンゲール 🔥🔥
- レギュラーマルチンゲールなら一様可積分マルチンゲールである 🔥🔥
- 一様可積分マルチンゲールならL1収束マルチンゲールである 🔥🔥🔥
- L1収束マルチンゲールならクローザブルマルチンゲールである 🔥🔥🔥
ドンスカーの定理
- 確率過程論でのプロジェクションマッピング 🔥🔥🔥
- プリコンパクト確率過程 🔥🔥🔥
- タイト確率過程 🔥🔥
- ドンスカーの定理 🔥
確率情報論
- 🔒(24/10/27) ヘリンガー距離
エントロピー
- シャノン情報: 確率論で定義される情報 🔥
- シャノンエントロピー: 確率変数で定義されるエントロピー 🔥
- 結合エントロピー
- 条件付きエントロピー
- クロスエントロピー 🔥
- 相対エントロピー、クルバック・ライブラー発散
- ギブスの不等式
主要参考文献
- Applebaum. (2008). Probability and Information(2nd Edition)
- Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability
- Kimmel, Axelrod. (2006). Branching Processes in Biology
全體ポスト
- 二つの事象が互いに排他的である場合、それらは依存していることを証明する
- 二つの事象が独立であれば、それらの余事象も独立であることの証明
- 測度論で定義される確率
- 事象の独立と条件付き確率
- 確率過程とは何か?
- 離散マルコフ連鎖
- チャップマン-コルモゴロフ方程式の導出
- 確率過程における状態の種類
- 遷移確率の極限
- 一般化されたランダムウォーク
- ギャンブラーの破産問題
- ヒドゥン・マルコフ連鎖
- 指数分布によるポアソン過程の定義
- 確率過程のインクリメント
- ウィーナープロセス
- 測度論で定義される確率変数と確率分布
- 測度論で定義される確率変数の独立
- 測度論によって定義された確率変数の密度と累積分布関数
- 測度論で定義されるディラック測度と離散確率分布
- 測度論で定義される期待値
- 測度論によって定義されるジョイント分布とマージナル分布
- 測度論で定義される確率変数の条件付き期待値
- 測度論で定義される確率変数の条件付き確率
- 条件付き期待値の性質
- 条件付き単調収束定理の証明
- 支配収束定理の証明
- 条件付き確率の性質들
- 条件付き期待値の平滑化特性
- 測度論で定義される条件付き分散
- 条件付きイェンセンの不等式の証明
- マルチンゲールの定義
- 確率過程における停止時間
- 停止時間の性質
- 選択的サンプリング定理の証明
- マルチンゲールの不等式たち
- ドブの最大不等式証明
- 確率過程における交差点
- 劣マルチンゲール収束定理の証明
- レギュラーマルチンゲールとクローズ可能なマルチンゲール
- それがレギュラーマルチンゲールであれば、それは一様に可積分なマルチンゲールである
- 測度論によって定義される確率の収束
- 一様に可積分なマルチンゲールはL1収束マルチンゲールである
- L1が収束するなら、マルチンゲールは閉じることができる
- 確率論におけるレヴィの定理の証明
- 確率論における分離クラス
- 二つの確率尺度が一致する条件
- タイト確率測度
- ポーランド空間で定義される確率尺度はタイトである
- 確率過程における射影マッピング
- 確率論の混合定理の証明
- 測度論によって定義される分布の収束
- プリコンパクト確率過程
- タイト確率過程
- ドンスカーの定理
- 連続写像定理の証明
- シャノン情報:確率論によって定義される情報
- シャノンエントロピー:確率変数によって定義されるエントロピー
- 結合エントロピー
- 条件付きエントロピー
- クロスエントロピー
- 相対エントロピー、クルバック・ライブラー・ダイバージェンス
- ギブスの不等式
- 幾何ブラウン運動
- ガウス過程
- 確率過程の自己相似性とハースト指数
- フラクタルブラウン運動
- 分岐過程
- ガルトン=ワトソン過程
- 確率過程の遷移確率
- 連続マルコフ連鎖
- コルモゴロフ微分方程式の導出
- ジレスピ確率シミュレーションアルゴリズム
- 微分演算子行列を通じたポアソン過程の定義
- 측도론과 확률론 요약 정리
- 確率論におけるレヴィの連続性定理
- ブルックの補助定理証明
- 確率分布のヘリンガー距離