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微分幾何学におけるリーマン曲率テンソル、ガウスの方程式、コダッチ-マイナルディの方程式 📂幾何学

微分幾何学におけるリーマン曲率テンソル、ガウスの方程式、コダッチ-マイナルディの方程式

定義1

リーマン曲率テンソルの係数coefficients of Riemannian curvature tensor RijklR_{ijk}^{l}は以下のように定義される。

Rijkl=ΓiklujΓijluk+p(ΓikpΓpjlΓijpΓpkl) for 1i,j,k,l2 R_{ijk}^{l} = \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial u^{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{ij}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum_{p} \left( \Gamma_{ik}^{p} \Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{ij}^{p}\Gamma_{pk}^{l}\right) \text{ for } 1 \le i,j,k,l \le 2

ここでΓijk\Gamma_{ij}^{k}はクリストッフェル記号である。

説明

クリストッフェル記号が内在的であるため、リーマン曲率テンソルも内在的である。

微分幾何学で登場する「係数」という名前が付いたものは、座標系に依存しないという特徴がある。これらを私達はテンソルtensorと呼ぶ。

ガウスの方程式は、第二基本形式ワインガルテン写像の観点からRijklR_{ijk}^{l}の外在的な表現を提供する。

定理

  • ガウスの方程式Gauss’s equations

Rijkl=LikLjlLijLkl R_{ijk}^{l} = L_{ik}L_{j}^{l} - L_{ij}L_{k}^{l}

  • コダッチ-マイナルディの方程式Codazzi-Mainardi equations

LijukLikuj=l(ΓiklLljΓijlLlk) \dfrac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}_{}} - \dfrac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} = \sum\limits_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}L_{lj} - \Gamma_{ij}^{l}L_{lk} \right)

ここで、LjiL_{j}^{i}はワインガルテン写像の行列表現の成分である。

証明

2つの式を同時に証明する。x:UR3\mathbf{x} : U \to \R^{3}を座標片写像とする。(u1,u2)(u^{1}, u^{2})UUの座標とする。

ガウスの公式

xij=Lijn+l=12Γijlxl \mathbf{x}_{ij} = L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{l=1}^{2} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l}

まず、ガウスの公式により、次のものを得る。

xijk=uk(Lijn+l=12Γijlxl)=Lijukn+Lijnk+lΓijlukxl+lΓijlxlk \begin{align*} \mathbf{x}_{i j k} &= \dfrac{\partial}{\partial u^{k}}\left( L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{l=1}^{2} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l} \right) \\ &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} + L_{i j} \mathbf{n}_{k}+\sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l}+\sum\limits_{l}\Gamma_{i j}^{l} \mathbf{x}_{l k} \end{align*}

ここでnk=xkn=L(xk)=lLklxl\mathbf{n}_{k} = \mathbf{x}_{k}\mathbf{n} = - L(\mathbf{x}_{k}) = -\sum\limits_{l}L_{k}^{l}\mathbf{x}_{l}であるため、第二項はLijnk=lLijLklxlL_{ij}\mathbf{n}_{k} = -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l}である。さらに、第四項にガウスの公式を再適用すると、

lΓijlxlk=lΓijlLlkn+l,mΓijlΓlkmxm \sum\limits_{l} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l k} = \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{l,m}\Gamma_{i j}^{l}\Gamma_{lk}^{m} \mathbf{x}_{m}

これを代入すると、次を得る。

xijk=LijuknlLijLklxl+lΓijlukxl+lΓijlLlkn+l,mΓijlΓlkmxm=LijuknlLijLklxl+lΓijlukxl+lΓijlLlkn+p,lΓijpΓpklxl=(Lijuk+lΓijlLlk)n+l(ΓijlukLijLkl+pΓijpΓpkl)xl \begin{align*} \mathbf{x}_{i j k} &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{l,m}\Gamma_{i j}^{l}\Gamma_{lk}^{m} \mathbf{x}_{m} \\ &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{p,l}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \mathbf{x}_{l} \\ &= \left( \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \right)\mathbf{n} + \sum\limits_{l} \left(\frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} - L_{i j} L_{k}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \right)\mathbf{x}_{l} \end{align*}

l,ml,mはダミーインデックスなので、最後の項のインデックスを(l,m)(p,l)(l,m) \to (p,l)に変え、項をまとめた。同様に、次を得る。

xikj=(Likuj+lΓiklLlj)n+l(ΓiklujLikLjl+pΓikpΓpjl)xl \mathbf{x}_{ikj} = \left( \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} \right)\mathbf{n} + \sum\limits_{l} \left(\frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - L_{i k} L_{j}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l} \right)\mathbf{x}_{l}

この際、座標片写像x\mathbf{x}は十分に微分可能であると仮定すると、

xijk=3xukujui=3xujukui=xikj \mathbf{x}_{i j k}=\frac{\partial^{3} \mathbf{x}}{\partial u^{k} \partial u^{j} \partial u^{i}}=\frac{\partial^{3} \mathbf{x}}{\partial u^{j} \partial u^{k} \partial u^{i}}=\mathbf{x}_{i k j}

{x1,x2,n}\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right\}R3\mathbb{R}^{3}の基底であるため、xijk\mathbf{x}_{ijk}xikj\mathbf{x}_{ikj}の各成分は同じでなければならない。したがって、次を得る。

Lijuk+lΓijlLlk=Likuj+lΓiklLlj    LijukLikuj=l(ΓiklLljΓijlLlk) \begin{align*} && \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} &= \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} \\ \implies && \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} - \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} &= \sum\limits_{l} \left( \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} - \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \right) \end{align*}

コダッチ-マイナルディの方程式が証明された。同じ論理で次の等式が成り立つ。

ΓijlukLijLkl+pΓijpΓpkl=ΓiklujLikLjl+pΓikpΓpjl \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} - L_{i j} L_{k}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} = \frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - L_{i k} L_{j}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l}

整理すると、次を得る。

LikLjlLijLkl=ΓiklujΓijluk+p(ΓikpΓpjlΓijpΓpkl)=Rijkl L_{i k} L_{j}^{l} - L_{i j} L_{k}^{l} = \frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{p} \left( \Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \right) = R_{ijk}^{l}

ガウスの方程式が証明された。

参照


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p141-142 x:UR3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}を曲面MM上の座標片写像とする。(u1,u2)(u^{1}, u^{2})UUの座標とする。x\mathbf{x}クリストッフェル記号Γijk\Gamma_{ij}^{k}第二基本形式の係数LijL_{ij}が与えられたとする。 ↩︎