微分幾何学におけるリーマン曲率テンソル、ガウスの方程式、コダッチ-マイナルディの方程式
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定義
リーマン曲率テンソルの係数coefficients of Riemannian curvature tensor Rijklは以下のように定義される。
Rijkl=∂uj∂Γikl−∂uk∂Γijl+p∑(ΓikpΓpjl−ΓijpΓpkl) for 1≤i,j,k,l≤2
ここでΓijkはクリストッフェル記号である。
説明
クリストッフェル記号が内在的であるため、リーマン曲率テンソルも内在的である。
微分幾何学で登場する「係数」という名前が付いたものは、座標系に依存しないという特徴がある。これらを私達はテンソルtensorと呼ぶ。
ガウスの方程式は、第二基本形式とワインガルテン写像の観点からRijklの外在的な表現を提供する。
定理
Rijkl=LikLjl−LijLkl
- コダッチ-マイナルディの方程式Codazzi-Mainardi equations
∂uk∂Lij−∂uj∂Lik=l∑(ΓiklLlj−ΓijlLlk)
ここで、Ljiはワインガルテン写像の行列表現の成分である。
証明
2つの式を同時に証明する。x:U→R3を座標片写像とする。(u1,u2)をUの座標とする。
ガウスの公式
xij=Lijn+l=1∑2Γijlxl
まず、ガウスの公式により、次のものを得る。
xijk=∂uk∂(Lijn+l=1∑2Γijlxl)=∂uk∂Lijn+Lijnk+l∑∂uk∂Γijlxl+l∑Γijlxlk
ここでnk=xkn=−L(xk)=−l∑Lklxlであるため、第二項はLijnk=−l∑LijLklxlである。さらに、第四項にガウスの公式を再適用すると、
l∑Γijlxlk=l∑ΓijlLlkn+l,m∑ΓijlΓlkmxm
これを代入すると、次を得る。
xijk=∂uk∂Lijn−l∑LijLklxl+l∑∂uk∂Γijlxl+l∑ΓijlLlkn+l,m∑ΓijlΓlkmxm=∂uk∂Lijn−l∑LijLklxl+l∑∂uk∂Γijlxl+l∑ΓijlLlkn+p,l∑ΓijpΓpklxl=(∂uk∂Lij+l∑ΓijlLlk)n+l∑(∂uk∂Γijl−LijLkl+p∑ΓijpΓpkl)xl
l,mはダミーインデックスなので、最後の項のインデックスを(l,m)→(p,l)に変え、項をまとめた。同様に、次を得る。
xikj=(∂uj∂Lik+l∑ΓiklLlj)n+l∑(∂uj∂Γikl−LikLjl+p∑ΓikpΓpjl)xl
この際、座標片写像xは十分に微分可能であると仮定すると、
xijk=∂uk∂uj∂ui∂3x=∂uj∂uk∂ui∂3x=xikj
{x1,x2,n}はR3の基底であるため、xijkとxikjの各成分は同じでなければならない。したがって、次を得る。
⟹∂uk∂Lij+l∑ΓijlLlk∂uk∂Lij−∂uj∂Lik=∂uj∂Lik+l∑ΓiklLlj=l∑(ΓiklLlj−ΓijlLlk)
コダッチ-マイナルディの方程式が証明された。同じ論理で次の等式が成り立つ。
∂uk∂Γijl−LijLkl+p∑ΓijpΓpkl=∂uj∂Γikl−LikLjl+p∑ΓikpΓpjl
整理すると、次を得る。
LikLjl−LijLkl=∂uj∂Γikl−∂uk∂Γijl+p∑(ΓikpΓpjl−ΓijpΓpkl)=Rijkl
ガウスの方程式が証明された。
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参照