📂幾何学

微分幾何学におけるリーマン曲率テンソル、ガウスの方程式、コダッチ-マイナルディの方程式

定義¹

リーマン曲率テンソルの係数^{coefficients of Riemannian curvature tensor} $R_{ijk}^{l}$は以下のように定義される。

$$ R_{ijk}^{l} = \dfrac{\partial \Gamma_{ik}^{l}}{\partial u^{j}} - \dfrac{\partial \Gamma_{ij}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum_{p} \left( \Gamma_{ik}^{p} \Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{ij}^{p}\Gamma_{pk}^{l}\right) \text{ for } 1 \le i,j,k,l \le 2 $$

ここで$\Gamma_{ij}^{k}$はクリストッフェル記号である。

説明

クリストッフェル記号が内在的であるため、リーマン曲率テンソルも内在的である。

微分幾何学で登場する「係数」という名前が付いたものは、座標系に依存しないという特徴がある。これらを私達はテンソル^tensorと呼ぶ。

ガウスの方程式は、第二基本形式とワインガルテン写像の観点から$R_{ijk}^{l}$の外在的な表現を提供する。

定理

• ガウスの方程式^{Gauss’s equations}

$$ R_{ijk}^{l} = L_{ik}L_{j}^{l} - L_{ij}L_{k}^{l} $$

• コダッチ-マイナルディの方程式^{Codazzi-Mainardi equations}

$$ \dfrac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}_{}} - \dfrac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} = \sum\limits_{l} \left( \Gamma_{ik}^{l}L_{lj} - \Gamma_{ij}^{l}L_{lk} \right) $$

ここで、$L_{j}^{i}$はワインガルテン写像の行列表現の成分である。

証明

2つの式を同時に証明する。$\mathbf{x} : U \to \R^{3}$を座標片写像とする。$(u^{1}, u^{2})$を$U$の座標とする。

ガウスの公式

$$ \mathbf{x}_{ij} = L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{l=1}^{2} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l} $$

まず、ガウスの公式により、次のものを得る。

$$ \begin{align*} \mathbf{x}_{i j k} &= \dfrac{\partial}{\partial u^{k}}\left( L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{l=1}^{2} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l} \right) \\ &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} + L_{i j} \mathbf{n}_{k}+\sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l}+\sum\limits_{l}\Gamma_{i j}^{l} \mathbf{x}_{l k} \end{align*} $$

ここで$\mathbf{n}_{k} = \mathbf{x}_{k}\mathbf{n} = - L(\mathbf{x}_{k}) = -\sum\limits_{l}L_{k}^{l}\mathbf{x}_{l}$であるため、第二項は$L_{ij}\mathbf{n}_{k} = -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l}$である。さらに、第四項にガウスの公式を再適用すると、

$$ \sum\limits_{l} \Gamma_{ij}^{l} \mathbf{x}_{l k} = \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{l,m}\Gamma_{i j}^{l}\Gamma_{lk}^{m} \mathbf{x}_{m} $$

これを代入すると、次を得る。

$$ \begin{align*} \mathbf{x}_{i j k} &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{l,m}\Gamma_{i j}^{l}\Gamma_{lk}^{m} \mathbf{x}_{m} \\ &= \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}}\mathbf{n} -\sum\limits_{l} L_{i j} L_{k}^{l} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} \mathbf{x}_{l} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \mathbf{n} + \sum\limits_{p,l}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \mathbf{x}_{l} \\ &= \left( \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \right)\mathbf{n} + \sum\limits_{l} \left(\frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} - L_{i j} L_{k}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \right)\mathbf{x}_{l} \end{align*} $$

$l,m$はダミーインデックスなので、最後の項のインデックスを$(l,m) \to (p,l)$に変え、項をまとめた。同様に、次を得る。

$$ \mathbf{x}_{ikj} = \left( \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} \right)\mathbf{n} + \sum\limits_{l} \left(\frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - L_{i k} L_{j}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l} \right)\mathbf{x}_{l} $$

この際、座標片写像$\mathbf{x}$は十分に微分可能であると仮定すると、

$$ \mathbf{x}_{i j k}=\frac{\partial^{3} \mathbf{x}}{\partial u^{k} \partial u^{j} \partial u^{i}}=\frac{\partial^{3} \mathbf{x}}{\partial u^{j} \partial u^{k} \partial u^{i}}=\mathbf{x}_{i k j} $$

$\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right\}$は$\mathbb{R}^{3}$の基底であるため、$\mathbf{x}_{ijk}$と$\mathbf{x}_{ikj}$の各成分は同じでなければならない。したがって、次を得る。

$$ \begin{align*} && \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} &= \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} + \sum\limits_{l} \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} \\ \implies && \frac{\partial L_{ij}}{\partial u^{k}} - \frac{\partial L_{ik}}{\partial u^{j}} &= \sum\limits_{l} \left( \Gamma_{i k}^{l}L_{lj} - \Gamma_{i j}^{l}L_{lk} \right) \end{align*} $$

コダッチ-マイナルディの方程式が証明された。同じ論理で次の等式が成り立つ。

$$ \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} - L_{i j} L_{k}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} = \frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - L_{i k} L_{j}^{l} + \sum\limits_{p}\Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l} $$

整理すると、次を得る。

$$ L_{i k} L_{j}^{l} - L_{i j} L_{k}^{l} = \frac{\partial \Gamma_{i k}^{l}}{\partial u^{j}} - \frac{\partial \Gamma_{i j}^{l}}{\partial u^{k}} + \sum\limits_{p} \left( \Gamma_{i k}^{p}\Gamma_{pj}^{l} - \Gamma_{i j}^{p}\Gamma_{pk}^{l} \right) = R_{ijk}^{l} $$

ガウスの方程式が証明された。

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参照

• 微分多様体上のリーマン曲率テンソル