📂確率論

事象の独立と条件付き確率

定義 ¹

確率空間 $(\Omega , \mathcal{F} , P)$が与えられているとする。

1. $P(B)>0$に対して$\displaystyle P (A | B) = {{P(A \cap B)} \over {P(B)}}$を$B$に対する$A$の条件付き確率^{conditional Probability}という。
2. もし$P(A | B) = P(A)$、すなわち$P( A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ならば$A, B$が互いに独立^independentであるという。

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• まだ測度論に触れていなければ確率空間という言葉は無視してもよい。

説明

確率空間がよく定義されている分、条件付き確率や事象の独立は高校レベルの定義をそのまま使うことができる。条件付き確率と独立そのものが非常に直観的によく定義されているため、当然といえば当然である。あえてこれに言及する理由は、「測度論を導入したからといって変わるものはない」ということを指摘するためと、確率変数を論じるときに独立、条件付き期待値との対比を強調するためである。

条件付き確率の変形として次の二つの法則を得る。これらはベイズの法則にそのまま応用できる。

定理

• [1] 確率の乗法法則: $$ P(A \cap B) = P(B) P(A | B) $$
• [2] 全確率の法則: $$ P(C) = \sum_{i=1}^{k} P(C_{i}) P (C|C_{i}) $$