チャップマン・コルモゴロフ方程式の導出
定理
確率過程の遷移確率 $p_{ij}^{(n)}$, $p_{ij}(t)$と遷移確率行列 $P^{(n)}$, $P(t)$に対して、次の方程式が成り立つ。
離散的確率過程
$$ \begin{align*} p_{ ij }^{ (n+m) } =& \sum _{ k } p_{ ik }^{ (n) } p _{ kj }^{ (m) } \\ P^{(n+m)} =& P^{(n)} P^{(m)} \end{align*} $$
連続的確率過程
$$ \begin{align*} p_{ij} (t + s) =& \sum _{ k } p_{ ik } \left( t \right) p _{ kj } \left( s \right) \\ P(t+s) =& P(t) P(s) \end{align*} $$
説明
状態$i$から$j$へ行くまでにかかる$n+m$のステップを、$n$と$m$に分けて表現できるという意味である。わざわざ証明せず直観的に考えてみても、$i$から$k$まで$n$回かかる確率と$k$から$j$まで$m$回かかる確率を考えれば、それは$i$から$k$を経て$j$まで行く確率であり、すべての状態$k$についてこれらの確率を足した値は、途中で何を経ようと結局$i$から$j$へ行く確率になるだろう。
導出
戦略：離散的確率過程についてのみ証明する。最初に$X_0$を$i$と仮定することで、その後わざわざ「$i$から出発する」ことに言及しなくて済む。シグマの中の式は、条件付き確率$P(A|B)=P(AB)/P(B)$の両辺に$P(B)$を掛けると$P(AB)=P(A|B)P(B)$のように表せるのと同様に進める。
$ { X }_{ 0 }=i$と仮定すると $$ \begin{align*} { p } _{ ij }^{ (n+m) } =& P({ X }_{ n+m }=j ) \\ =& \sum _{ k }^{ }{ P({ X }_{ m }=j , { X }_{ n }=k) } \\ =& \sum _{ k }^{ }{ P({ X }_{ m }=j | { X }_{ n }=k)P({ X }_{ n }=k) } \\ =& \sum _{ k }^{ }{ { p }_{ ik }^{ (n) } { p }_{ kj }^{ (m) } } \end{align*} $$
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