📂동역학

랴푸노프 안정성과 오빗 안정성

정의

랴푸노프 안정성 ¹

거리공간 $\left( X , \left\| \cdot \right\| \right)$ 과 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) $$

1. $t_{0} \in \mathbb{R}$ 이라 하자. 주어진 미분 방정식의 솔루션 $\overline{x}(t)$ 가 $\varepsilon > 0$ 이 주어질 때마다 $$ \left\| \overline{x} \left( t_{0} \right) - y \left( t_{0} \right) \right\| < \delta \implies \left\| \overline{x}(t) - y(t) \right\| < \varepsilon \qquad , t > t_{0} $$ 를 만족시키는 다른 모든 솔루션 $y(t)$ 에 대해 $\delta ( \varepsilon ) > 0$ 가 존재하면 $\overline{x}(t)$ 를 랴푸노프 스테이블^{Liapunov stable}하다고 말한다.
2. $\overline{x}(t)$ 가 랴푸노프 스테이블하고 $$ \left\| \overline{x} \left( t_{0} \right) - y \left( t_{0} \right) \right\| < b \implies \lim_{t \to \infty} \left\| \overline{x}(t) - y(t) \right\| = 0 $$ 를 만족시키는 다른 모든 솔루션 $y(t)$ 에 대해 상수 $b > 0$ 가 존재하면 $\overline{x}(t)$ 를 점근적 랴푸노프 스테이블^{asymtotic Liapunov stable}하다고 말한다.

오빗 안정성 ²

3. $t_{0} \in \mathbb{R}$ 이라 하자. 주어진 미분 방정식의 솔루션 $\overline{x}(t)$ 가 $\varepsilon > 0$ 이 주어질 때마다 $$ \left\| \overline{x} \left( t_{0} \right) - y \left( t_{0} \right) \right\| < \delta \implies d \left( y(t) , O^{+} \left( x_{0} , t_{0} \right) \right) < \varepsilon \qquad , t > t_{0} $$ 를 만족시키는 다른 모든 솔루션 $y(t)$ 에 대해 $\delta ( \varepsilon ) > 0$ 가 존재하면 $\overline{x}(t)$ 를 오비탈리 스테이블^{orbitally stable}하다고 말한다.
4. $\overline{x}(t)$ 가 오비탈리 스테이블하고 $$ \left\| \overline{x} \left( t_{0} \right) - y \left( t_{0} \right) \right\| < b \implies \lim_{t \to \infty} d \left( y(t) , O^{+} \left( x_{0} , t_{0} \right) \right) = 0 $$ 를 만족시키는 다른 모든 솔루션 $y(t)$ 에 대해 상수 $b > 0$ 가 존재하면 $\overline{x}(t)$ 를 점근적 오비탈리 스테이블^{asymtotic orbitally stable}하다고 말한다.

• $O^{+}(x_{0} , t_{0})$ 는 픽스된 시점 $t_{0}$ 이후의 오빗을 나타내는 표기로, 다음과 같이 정의된다. $$ O^{+} \left( x_{0} , t_{0} \right) := \left\{ x \in X : x = \overline{x} (t) , t \ge t_{0} , \overline{x} \left( t_{0} \right) = x_{0} \right\} $$
• $d \left( p, S \right)$ 는 한 점 $p \in X$ 과 부분 공간 $S \subset X$ 사이의 최단거리로, 다음과 같이 정의된다. $$ d \left( p, S \right) := \inf_{x \in S} \left\| p - x \right\| $$

설명

랴푸노프 안정성과 오빗 안정성은 자율 시스템의 플로우가 안정적인지를 논하기 위한 개념이다. 플로우가 안정적이라는 것은 초기점 $\overline{x} \left( t_{0} \right)$ 이 조금 달라질지라도 플로우가 여전히 비슷한 식으로 흘러간다는 것이다.

여기서 안정성은 플로우에 대한 개념이라고 했지만 고정점, 즉 움직이지 않는 솔루션인 $\overline{x} (t) = x_{0}$ 도 플로우는 플로우이므로 안정성의 개념을 고정점에 그대로 이식할 수 있다. 실제 동역학에서는 보통 이 고정점의 안정성에 관심을 가진다.

• 안정성에 점근적이라는 말이 붙고 안 붙고는 초기값에 작은 변화가 생겼을 때의 플로우 $y(t)$ 가 실제로 플로우 $\overline{x}(t)$ 에 수렴하는지 수렴하지 않는지의 차이가 있다. 점근적이라는 말이 없다면 $y(t)$ 는 $\overline{x}(t)$ 와 주어진 $\varepsilon > 0$ 만큼 가까이 있어야하는 건 맞지만, 시간이 흐름에 따라 수렴하거나 할 필요는 없다. 그러나 점근적으로 안정적이라는 것은 실제로 수렴해야하고, 그 수렴이란 시간의 흐름에 따른 수렴을 의미한다. 헷갈리지 않고 정확하게 이해하려면 안정성의 정의에서 엡실론-델타 논법과 극한 표현 $\lim_{t \to \infty}$ 가 둘 다 등장한 것을 정확히 신경 쓰는게 우선이다.
• 랴푸노프 안정성과 오빗 안정성의 차이는 쉽게 말해 점이냐 공간이냐의 차이다. 랴푸노프 안정성의 정의에서는 정확한 시점 $t$ 일 때 정확한 두 점 $\overline{x}(t)$ 와 $y(t)$ 사이의 거리를 신경쓰고 있다. 벡터필드의 모양을 보았을 때 결국 비슷한 모양일지라도 같은 점에 이르는데에 필요한 시간이 달라진다면 랴푸노프 안정적이라고 말할 수는 없게 되는 것이다. 딱 이런 상황에 오빗 안정성을 생각하면 좋은데, $O^{+} \left( x_{0} , t_{0} \right)$ 와 $y(t)$ 사이의 거리를 신경쓰겠다는 것은 $\overline{x}(t)$ 가 결국엔 지나게 될 모든 자취를 처음부터 고려하겠다는 것과 같다. 시간이 흐름에 따라 움직이는 것은 $y(t)$ 고, $\overline{x}(t)$ 는 앞으로 겪어야할 모든 미래가 이미 집합 $O^{+} \left( x_{0} , t_{0} \right)$ 에 묶여 있으므로 더 이상 시간이 흐르고 말고 할 게 없다. 시간적으로는 한쪽만 보면 되기 때문에 랴푸노프 안정성에 비해 훨씬 여유롭고 느슨한 안정성이라고 할 수 있겠다.