카르노 정리 증명
정리
카르노 기관보다 효율이 높은 기관은 존재하지 않는다.
설명
어차피 카르노 기관을 실제로 구현할 순 없지만 이론적인 한계가 된다는 점에서 대단히 의미있는 정리다.
증명
카르노 기관 $C$보다 효율이 높은 기관 $E$가 존재한다고 가정해보자.
$E$ 는 열 $Q_{h} ' $를 받아서 $W$만큼의 일을 하고, $C$ 는 열 $Q_{l}$과 일 $W$를 받아서 열 $Q_{h}$를 내놓는다.
두 기관을 하나의 기관으로 보면 $E + C$ 는 열 $Q_{h}’ - Q_{h}$를 받아서 열 $Q_{l}’ - Q_{l}$ 을 내놓는다.
열역학 제1법칙 $$ d U = \delta Q + \delta W $$
열역학 제1법칙에서 내부에너지의 변화인 일은 열에너지의 변화에만 의존하므로 다음과 같다.
$$ W = Q_{h}’ - Q_{l} ' = Q_{h} - Q_{l} $$
$h$와 $l$ 에 각각 대해 정리하면 다음과 같다.
$$ Q_{h}’ - Q_{h} = Q_{l}’ - Q_{l} $$
한편 $C$ 와 $E$ 의 효율은 $\eta_{C} < \eta_{E}$이고, $C$ 는 카르노 기관이므로 다음과 같다.
$$ \eta_{C} = 1 - \dfrac{Q_{l}}{Q_{h}} $$
따라서 다음의 부등식이 성립한다.
$$ {{W} \over {Q_{h}}} = {{Q_{h} - Q_{l}} \over {Q_{h}}} = \eta_{C} < \eta_{E} = {{W} \over {Q_{h}’ }} $$
양끝변에서 $W$ 를 소거하고 역수를 취하면 다음과 같다.
$$ Q_{h}’ < Q_{h} $$
즉 $Q_{h}’ - Q_{h} < 0$인데, $Q_{l}’ - Q_{l} = Q_{h}’ - Q_{h}$ 이기도 했으므로 열이 흐르는 방향을 정리하면 다음과 같이 온도가 낮은 곳에서 높은 곳으로 열이 흐름을 알 수 있다.
클라우지우스: 스스로 차가운 쪽에서 뜨거운 쪽으로 열을 보내는 과정은 존재하지 않는다.
이는 클라우지우스의 열역학 제2법칙에 위배되므로, 귀류법에 의해 가정이 틀렸음을 알 수 있다. 따라서 $E$처럼 카르노 기관보다 효율이 높은 기관은 존재하지 않는다.
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