📂ルベーグ空間

ルベーグ空間におけるコーシー・シュワルツ不等式

定理¹

$f,g \in L^{2} (E)$ならば$fg \in L^{1}(E)$であり、次が成り立つ。

$$ \left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| \le \left\| f g \right\|_{1} \le \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2} $$

ここで$\| \cdot \|_{2}$は$L^{2}$空間のノルム、$\| \cdot \|_{1}$は$L^{1}$空間のノルムである。

説明

関数解析学程度を学んでいるならば、この不等式になぜコーシー・シュワルツという名前がついたのかすぐに感覚がつかめるはずだ。実際、内積が定義されているならばコーシー・シュワルツ不等式はどこにでも見つけられる。ヘルダー不等式へ一般化できる。

証明

$$ \int_{E} fg dm \le \int_{E} |fg| dm \le \int_{E} | f + g |^2 dm < \infty $$

であるから$fg \in L^{1}$である。一方、$\displaystyle (x - y)^2 \ge 0$から次を得る。

$$ xy \le \dfrac{1}{2} \left( x^2 + y^2 \right) $$

• Case 1. $\left\| f \right\|_{2} = 0$ もしくは $\left\| g \right\|_{2} = 0$

  ほとんど至るところで$f = 0$、もしくはほとんど至るところで$g = 0$であるから、ほとんど至るところで$f\overline{g} = 0$である。したがって$\displaystyle \left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| = \left\| fg \right\|_{1} = 0$であり、$\left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2} = 0$であるから不等式を満たす。

• Case 2. $\left\| f \right\|_{2} = \left\| g \right\|_{2} = 1$

  $$ \left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| \le \int_{E} \left| f \overline{g} \right| dm = \left\| fg \right\|_{1} \le {{1} \over {2}} (1 + 1) = 1 = \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2} $$

  であるから不等式を満たす。

• Case 3. その他の場合

  正規化された関数$\displaystyle \hat{ f } : = {{f} \over {\left\| f \right\|_{2}}}$と$\displaystyle \hat{ g } : = {{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}}$を新たに定義しよう。すると Case 2 により

  $$ \left| \int_{E} \hat{f} \overline{\hat{g} } dm \right| \le \left\| \hat{f} \hat{g} \right\|_{1} \le \left\| \hat{f} \right\|_{2} \left\| \hat{g} \right\|_{2} $$

  展開して書くと

  $$ \left| \int_{E} {{f} \over {\left\| f \right\|_{2}}} \overline{{{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}} } dm \right| \le \left\| {{f} \over { \left\| f \right\|_{2}}} {{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}} \right\|_{1} \le \left\| {{f} \over {\left\| f \right\|_{2}}} \right\|_{2} \left\| {{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}} \right\|_{2} $$

  スカラー$\left\| f \right\|_{2} , \left\| g \right\|_{2} \in (0, \infty)$を整理すると

  $$ \left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| \le \left\| f g \right\|_{1} \le \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2} $$

  を得る。

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関連リンク

• 入試数学におけるコーシー・シュワルツ不等式
• ユークリッド空間におけるコーシー・シュワルツ不等式