📂측도론

측도 수렴

정의 ¹

측도 공간 $( X , \mathcal{E} , \mu)$ 가 주어져 있다고 하자.

가측 함수의 시퀀스 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 어떤 가측함수 $f$ 와 모든 $M >0$ 에 대해 다음을 만족하면 $f$ 로 측도 수렴한다고 말한다. $$ \lim_{n \to \infty} \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \right) = 0 $$ 시퀀스 $\left\{ f_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 이 모든 $M >0$ 에 대해 다음을 만족하면 측도에서 코시^{cauchy in measure}라고 한다. $$ \lim_{n,m \to \infty} \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{m}(x) - f_{n}(x) | \ge M \right\} \right) = 0 $$

설명

확률론의 표현으로는 확률 수렴이라고 한다.

수렴의 정의는 우리가 생각하는 수렴을 깔끔하게 잘 설명한다. 그런데도 이렇게 복잡하게 측도까지 동원해서 새로운 수렴을 정의하는 이유는 이 수렴이라는 게 지나치게 어려울 수 있기 때문이다. 하지만 측도 수렴한다면, 그러니까 $f_{n}$ 이 $f$ 와 충분히 비슷해지지 않는 영역이 $\mu$ 로 측정했을 때 $0$ 으로 수렴하는 정도로 타협할 수 있다면 더 많은 이야기를 할 수 있다.

이는 측도론에서 거의 어디서나를 따지는 것과 비슷하다. 거기에 측도 수렴은 거의 어디서나보다 한걸음 더 물러선 개념으로, 다음의 성질들을 보고 측도 수렴이 얼마나 악조건에서도 쓰일 수 있는지 확인해보자.

기초 성질

• [1]: $f_{n}$ 이 $f$ 로 균등 수렴하면 점별 수렴한다.
• [2]: $f_{n}$ 이 $f$ 로 점별 수렴하면 거의 어디서나 수렴한다.
• [3]: $f_{n}$ 이 $f$ 로 거의 어디서나 수렴하면 측도 수렴한다.
• [4]: $f_{n}$ 이 $f$ 로 $\mathcal{L}_{p}$ 수렴하면 측도 수렴한다.

[1]~[3]을 요약하면 다음과 같다:

• 균등 수렴 $\implies$ 점별 수렴 $\implies$ 거의 어디서나 수렴 $\implies$ 측도 수렴

증명

[1]

균등 수렴의 정의에 따라 모든 $x \in X$ 와 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $n \ge N \implies |f_{n}(x) - f(x)| < \varepsilon$ 을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 가 존재하므로 $f_{n}$ 은 $f$ 로 점별수렴한다.

■

[2]

$f_{n}$ 은 $f$ 로 점별 수렴한다는 것은 $E = \emptyset$ 을 제외한 $X$ 의 모든 점 $x$ 에서 각각의 함수값 $f_{n} (x)$ 이 $f(x)$ 로 수렴한다는 것이다. 이 때 $\mu ( \emptyset ) = 0$ 이므로 $f_{n}$ 은 $f$ 로 거의 어디서나 수렴한다.

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[3]

$f_{n}$ 은 $f$ 로 거의 어디서나 수렴한다는 것은 $\mu ( E) = 0$ 을 만족하는 어떤 $E \in \mathcal{E}$ 을 제외한 $X$ 의 모든 점 $x$ 에서 각각의 함수값 $f_{n} (x)$ 이 $f(x)$ 로 수렴한다는 것이다. $M > 0$ 이 어떻게 주어지든 $$ \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \subset E $$ 이고, 측도의 단조성에 따라 항상 $$ \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \right) \le \mu ( E ) = 0 $$ 이므로 $f_{n}$ 은 $f$ 로 측도 수렴한다.

■

[4]

$M > 0$ 에 대해 $$ \begin{align*} \int_{X} | f_{n} - f |^{p} d \mu &\ge \int_{\left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\}} |f_{n} - f |^{p} d \mu \\ &\ge \int_{\left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\}} M^{p} d \mu \\ &\ge M^{p} \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \right) \end{align*} $$ $f_{n}$ 이 $f$ 로 $\mathcal{L}_{p}$ 수렴하므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty } \int_{X} | f_{n} - f |^{p} d \mu = 0$ 이고 $M>0$ 이므로 $$ \lim_{n \to \infty} \mu \left( \left\{ x \in X : | f_{n}(x) - f(x) | \ge M \right\} \right) = 0 $$ 이어야한다. 따라서 $f_{n}$ 은 $f$ 로 측도 수렴한다.

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같이보기

• 거의 어디서나 수렴 $\implies$ 측도 수렴
• $\mathcal{L}_{p}$ 수렴 $\implies$ 측도 수렴