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数列空間（ℓp 空間） 📂バナッハ空間

数列空間（ℓp 空間）

定義 1

1≤p<∞1 \le p < \inftyに対して、距離空間(ℓp,dp)( \ell^{p} , d^{p} )は次のように定義される。

(i) 収束する数列の集合:

ℓp:={{xn}n∈N⊂C∣(∑i=1∞∣xi∣p)1p<∞} \ell^{p} := \left\{ \left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{C} \left| \left( \sum_{i=1}^{\infty} | x_{i} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} < \infty \right. \right\}

(ii) 距離関数:

dp(xn,yn):=(∑i=1∞∣xi−yi∣p)1p,{xn},{yn}∈ℓp d^{p} ( x_{n} , y_{n} ) := \left( \sum_{i = 1}^{\infty} | x_{i} - y_{i} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} },\quad \left\{ x_{n} \right\} , \left\{ y_{n} \right\} \in \ell^{p}

p=∞p = \inftyに対して、距離空間(ℓ∞,d∞)( \ell^{\infty} , d^{\infty} )は次のように定義される。

(i)' 有界数列の集合:

ℓ∞:={{xn}n∈N ∣ sup⁡i∈N∣xi∣<∞} \ell^{\infty} := \left\{ \left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \ \left| \ \sup_{i \in \mathbb{N}} | x_{i} | < \infty \right. \right\}

(ii)' 距離関数:

d∞(xn,yn):=sup⁡i∈N∣xi−yi∣,{xn},{yn}∈ℓ∞d^{\infty} ( x_{n} , y_{n} ) := \sup_{i \in \mathbb{N}} | x_{i} - y_{i} |,\quad \left\{ x_{n} \right\} , \left\{ y_{n} \right\} \in \ell^{\infty}

説明

ℓp\ell^{p}は数列空間sequence spaceと呼ばれ、ℓp\ell^{p}は[エルピー]と読む。ℓ\ellのTeXコードは\ellだ。

ℓp\ell^{p}空間がLpL^{p}空間と異なる点は、数列か関数か、級数か積分か、という点だけだ。ヤングの不等式、コーシー・シュワルツの不等式、ヘルダーの不等式、ミンコフスキーの不等式や完全性も同様だ。事実が似ているので、証明方法もほとんど同じであるため、一方を十分に学んだなら、もう一方をわざわざする必要はない。

一方でℓ∞\ell^{\infty}は、実際にはp→∞p \to \inftyのときと同じで、証明可能であるため、別に定義する必要はない。ℓp\ell^{p}やℓ∞\ell^{\infty}のほとんどの性質を見ると、ほぼ同じであり、別に考える必要はない。

ただし、典型的な例外として可分性がある。

定理 1

1≤p0<∞1 \le p_{0} < \inftyとする。

  • (a): ℓp0\ell^{p_{0}}は可分空間である。
  • (b): ℓ∞\ell^{\infty}は不可分空間である。

この差はℓp0\ell^{p_{0}}が収束性を条件としているのに対し、ℓ∞\ell^{\infty}が有界性のみを条件としているために生じる。

証明

(a)

ストラテジー: 収束する数列は、∣∑i=i0∞ai∣\displaystyle \left| \sum_{i = i_{0}}^{\infty} a_{i} \right|を十分小さくするi0i_{0}を常に選択できる。このi0i_{0}を基準に有限部分と無限部分に分けた後、有限数列が必ず収束点になることを利用して、lp0l^{p_{0}}が可分空間になるような部分集合を具体的に見つけ出す。

主張: M‾=ℓp0\overline{M} = \ell^{p_{0}}を満たす可算集合M⊂ℓp0M \subset \ell^{p_{0}}が存在する。

特定のj0j_{0}からはすべて00のみが繰り返される複素数列の集合

M:={{mj}∈ℓp0 ∣ mj∈Q+iQ,mj=0, j>j0, j0∈N} M : = \left\{ \left\{ m_{j} \right\} \in \ell^{p_{0}} \ | \ m_{j} \in \mathbb{Q} + i \mathbb{Q} , m_{j} = 0 , \ j>j_{0} , \ j_{0} \in \mathbb{N} \right\}

を考えれば、MMは可算集合であり、M‾⊂ℓp0\overline{M} \subset \ell^{p_{0}}は当然成立するので、ℓp0⊂M‾\ell^{p_{0}} \subset \overline{M}を示せば十分だ。lp0l^{p_{0}}の定義により、すべての数列x:=(x1,x2,⋯ )∈ℓp0x : = ( x_{1} , x_{2} , \cdots ) \in \ell^{p_{0}}は任意のε>0\varepsilon > 0に対して

(∑j>N∣xj∣p0)1p0<ε2 \left( \sum_{j > N} | x_{j} |^{p_{0}} \right)^{ {{1} \over {p_{0}}} } < {{ \varepsilon } \over {2}}

を満たすN∈NN \in \mathbb{N}が存在しなければならない。すると、各々のxxに対して

(∣x1−m1∣p0+⋯+∣xN−mN∣p0)1p0<ε2 \left( |x_{1} - m_{1}|^{p_{0}} + \cdots + |x_{N} - m_{N}|^{p_{0}} \right)^{ {{1} \over {p_{0}}} } < {{\varepsilon} \over {2}}

を満たすm:=(m1,m2,…,mN,0,… )∈Mm : = (m_{1} , m_{2} , \dots , m_{N} , 0, \dots ) \in Mも存在するので

dp0(x,m)=(∑j≤N∣xj−mj∣p0+∑j>N∣xj∣p0)1p0<ε2+ε2=ε d^{p_{0}} ( x, m) = \left( \sum_{j \le N} |x_{j} - m_{j}|^{p_{0}} + \sum_{j > N} |x_{j}|^{p_{0}} \right)^{{1} \over {p_{0}}} < {{ \varepsilon} \over {2}} + {{ \varepsilon} \over {2}} = \varepsilon

すべてのε>0\varepsilon >0に対してBdp0(x;ε)∩M≠∅B^{d^{p_{0}}} (x ; \varepsilon ) \cap M \ne \emptysetなのでx∈M‾x \in \overline{M}

■

(b)

ストラテジー: 扱いやすい有界関数eI∈ℓ∞e_{I} \in \ell^{\infty}とこれらに関する関数ψ\psiを定義し、それらの単射性を利用して基数を計算する。

主張 : M‾=ℓ∞\overline{M} = \ell^{\infty}を満たす可算集合M⊂ℓp0M \subset \ell^{p_{0}}が存在しない。

M‾=ℓ∞\overline{ M} = \ell^{\infty}を満たすすべてのM⊂ℓ∞M \subset \ell^{\infty}が非可算であることを示せば十分だ。

  • パート1.

    定義域I⊂NI \subset \mathbb{N}を持つ関数eI:I→{0,1}e_{I} : I \to \left\{ 0, 1 \right\}を

    eI(j):={1,j∈I0,j∈(N∖I) e_{I} (j) := \begin{cases} 1 & , j \in I \\ 0 & , j \in ( \mathbb{N} \setminus I ) \end{cases}

    として定義しよう。例えばI=2N={2,4,6,⋯ }I = 2 \mathbb{N} = \left\{ 2, 4, 6 , \cdots \right\} の場合、関数値はe2N(1)=0e_{2 \mathbb{N}} (1) = 0、e2N(2)=1e_{2 \mathbb{N}} (2) = 1、e2N(3)=0e_{2 \mathbb{N}} (3) = 0、e2N(4)=1e_{2 \mathbb{N}} (4) = 1 となる。

    この関数たちの集合A:={eI ∣ I⊂N}A: = \left\{ e_{I} \ | \ I \subset \mathbb{N} \right\}を考えると、関数値が[0,1][0,1]を超えることがないので、A⊂ℓ∞A \subset \ell^{\infty}が成り立つ。

  • パート2.

    関数ϕ:P(N)→A\phi : \mathscr{P} ( \mathbb{N} ) \to Aをϕ(I):=eI\phi (I) : =e_{I}として定義しよう。すると、I,I’⊂NI , I’ \subset \mathbb{N}がI≠i′I \ne i 'ならばϕ(I)=eI≠eI’=ϕ(I’)\phi (I) = e_{I} \ne e_{I’} = \phi (I’)であるため、ϕ\phiは単射であり、したがって

    ∣A∣≥∣P(N)∣=2ℵ0=ℵ1 |A| \ge | \mathscr{P} ( \mathbb{ N} ) | = 2^{\aleph_{0}} = \aleph_{1}

    任意のx∈ℓ∞=M‾x \in \ell^{\infty} = \overline{M}とε>0\varepsilon >0に対してBd∞(x;ε)∩M≠∅B_{d^{\infty}} (x ; \varepsilon ) \cap M \ne \emptysetなので

    Bd∞(eI;13)∩M≠∅ B_{d^{\infty}} \left( e_{I} ; {{1} \over {3}} \right) \cap M \ne \emptyset

  • パート3.

    Bd∞(eI;13)∩M≠∅\displaystyle B_{d^{\infty}} \left( e_{I} ; {{1} \over {3}} \right) \cap M \ne \emptysetであるため

    ψ(eI)∈(Bd∞[eI;13]∩M) \psi ( e_{I} ) \in \left( B_{d^{\infty}} \left[ e_{I} ; {{1} \over {3}} \right] \cap M \right)

    が成立するような関数ψ:A→M\psi : A \to Mを定義できる。ψ\psiが単射でないと仮定してみると、ψ(eI)=ψ(eI’)\psi ( e_{I}) = \psi ( e_{I’ })に対して

    ψ(eI)=ψ(eI’)∈[Bd∞(eI;13)∩Bd∞(eI’;13)] \psi ( e_{I}) = \psi ( e_{I’ }) \in \left[ B_{d^{\infty}} \left( e_{I} ; {{1} \over {3}} \right) \cap B_{d^{\infty}} \left( e_{I’} ; {{1} \over {3}} \right) \right]

    三角不等式により

    1=d∞(eI,eI’)≤d∞(eI,ψ(eI))+d∞(ψ(eI),eI’)≤13+13=23 1 = d^{\infty} ( e_{I} , e_{I’} ) \le d^{\infty} ( e_{I} , \psi (e_{I}) ) + d^{\infty} ( \psi (e_{I}) , e_{I’} ) \le {{1} \over {3}} + {{1} \over {3}} = {{2} \over {3}}

    まとめると1≤23\displaystyle 1 \le {{2} \over {3}}であり、これは矛盾なので、ψ\psiは単射である。またψ:A→M\psi : A \to Mが単射であるため、∣M∣≥∣A∣=ℵ1|M| \ge |A| = \aleph_{1}でありMMは可算集合であることができない。

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  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p11. ↩︎ ↩︎