📂ヒルベルト空間

リースの表現定理の証明

定理¹

$\left( H, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$がヒルベルト空間であるとする。$H$の線形汎関数$f \in H^{ \ast }$と$\mathbf{x} \in H$に対して、$f ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangle$と$\| f \|_{H^{\ast}} = \| \mathbf{w} \|_{H}$を満たす$\mathbf{w} \in H$が一意に存在する。

説明

簡単に言えば、ヒルベルト空間の双対空間$H^{ \ast }$のすべての元がどのような形をしているかを解明したことになるのだが、言葉にすれば簡単でも、関数というものは定義する人の思いのままであることを考えれば、このような定理を証明しようと考えたこと自体が驚異的だと言えるだろう。

証明

$f = 0$とすると、$f ( \cdot ) = \left\langle \cdot , \mathbf{0} \right\rangle$と$\| f \| = 0$を満たす$\mathbf{y} = \mathbf{0}$が存在して証明することがないので、$f \ne 0$と仮定しよう。

• Part 1. 存在性

  直交分解定理

  ヒルベルト空間$H$の閉部分空間$W$に対して

  $$ H = W \oplus W^{\perp} $$

  $W= \ker (f) = \left\{ \mathbf{x} \in H : f(\mathbf{x}) = 0 \right\}$とする。$\ker (f)$は閉部分空間なので、直交分解定理により

  $$ H = W \oplus W^{\perp} $$

  であり、$W^{\perp} \ne \left\{ \mathbf{0} \right\}$である。したがって、$\left\| \mathbf{y} \right\|=1$である$\mathbf{y} \in W^{\perp}$を一つ選ぼう。$W^{\perp}$もベクトル空間なので、$\mathbf{0}$でない元が一つでもあれば、このような$\mathbf{y}$の存在は必ず保証される。そして今、任意の$\mathbf{x} \in H$に対して、次のようなベクトル$\mathbf{z} \in H$を考えよう。

  $$ \mathbf{z} := f(\mathbf{x})\mathbf{y} - f(\mathbf{y})\mathbf{x} $$

  ここで$f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})$は定数であることに注意しよう。この$\mathbf{z}$に線形汎関数$f$を適用すると、線形性により次を得る。

  $$ f(\mathbf{z}) = f\left( f(\mathbf{x})\mathbf{y} - f(\mathbf{y})\mathbf{x} \right) = f(\mathbf{x})f(\mathbf{y}) - f(\mathbf{y})f(\mathbf{x}) = 0 $$

  したがって$\mathbf{z} \in W$である。すると$\mathbf{y} \in W^{\perp}$としたので、両者の内積は$0$である。

  $$ \left\langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \right\rangle = \left\langle f(\mathbf{x})\mathbf{y} - f(\mathbf{y})\mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle = 0 $$

  内積を展開すると次を得る。

  $$ f(\mathbf{x}) \left\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \right\rangle - f(\mathbf{y})\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle = f(\mathbf{x}) \left\| \mathbf{y} \right\|^{2} - f(\mathbf{y})\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle = f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y})\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle=0 $$

  $$ \implies f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{y})\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle = \left\langle \mathbf{x}, \overline{f(\mathbf{y})}\mathbf{y} \right\rangle $$

  ここで$\mathbf{w} = \overline{f(\mathbf{y})}\mathbf{y}$とすると、$f(\mathbf{x}) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangle$である。また、コーシー・シュワルツの不等式により $$ \| f \| = \sup_{ \| \mathbf{x} \| =1} | f(\mathbf{x}) | = \sup_{ \| \mathbf{x} \| =1} \left| \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangle \right| \le \sup_{ \| \mathbf{x} \| =1} \| \mathbf{x} \| \cdot \| \mathbf{w} \| = \| \mathbf{w} \| $$

  であり、$\left\| \dfrac{\mathbf{w}}{\left\| \mathbf{w}\right\|} \right\|=1$なので

  $$ \| f \| = \sup_{ \| \mathbf{x} \| =1} | f(\mathbf{x}) | = \sup_{ \| \mathbf{x} \| =1} \left| \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangle \right| \ge \left\langle {{ \mathbf{w} } \over { \| \mathbf{w} \| }} , \mathbf{w} \right\rangle = {{ \| \mathbf{w} \|^2 } \over { \| \mathbf{w} \| }} = \| \mathbf{w} \| $$

が成立し、$\left\| f \right\| = \left\| \mathbf{w} \right\|$である。したがって、$\mathbf{w}$が定理の条件を満たすことがわかる。

• Part 2. 一意性

  今度は$\mathbf{w}^{\prime}$も

  $$ f(\mathbf{x}) = \left\langle \mathbf{x}, \mathbf{w}^{\prime} \right\rangle $$

  を満たすとしよう。

  補助定理

  $\left( H, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$をヒルベルト空間とする。$x, y \in H$に対して次が成り立つと仮定しよう。

  $$ \left\langle x, y \right\rangle = \left\langle x, z \right\rangle, \quad \forall x \in H $$

  すると$y = z$である。

  すると、上の補助定理により、このような$\mathbf{w}=\mathbf{w}^{\prime}$であることがわかる。

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