📂抽象代数

ラグランジュの定理の証明

定理 ¹

$H$が有限群$G$の部分群であれば、$|H|$は$|G|$の約数である。

証明

少し考えれば、常識的に成立するし、証明もそれに相応しく簡単だ。

全ての剰余類は同じ数の元を持つ。$H$も$G$の剰余類の一つであるから、$H$の剰余類の濃度は$|H|$である。剰余類は$G$の分割を成すので、全ての剰余類の濃度を足すと$|G|$になる。$H$の剰余類の数を$( G : H )$、これを$r$とすると $$ |G| = |H| + \cdots |H| = r |H| $$ よって、$|H|$は$|G|$の約数である。

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系

有限群$G$において、$|G|$が素数ならば、$G$は巡回群である。

例えば、素数$p$に対して、$\mathbb{Z}_{p}$は明らかに巡回群である。

反例 ²

交代群$A_{4}$は、ラグランジュの定理の逆に対する反例である。

ラグランジュの定理の逆が成立すると仮定すれば、$\displaystyle | A_{4} | = {{4!} \over {2}} = 12$であるから、$|H| = 6$を満たす$H \leqslant A_{4}$が存在するだろう。具体的には、$A_{4}$は次の3種類、12の巡回群で構成されているため、$H$はそのうちの6つの巡回で構成されている。

• 長さ$1$の恒等元: $$e$$
• 長さ$3$の巡回、$3$-巡回: $$(1,2,3) \\ (1,3,2) \\ (1,2,4) \\ (1,4,2) \\ (1,3,4) \\ (1,4,3) \\ (2,3,4) \\ (2,4,3)$$
• 長さ$2$の置換の積、クラインの四元群: $$(1,2)(3,4) \\ (1,3)(2,4) \\ (1,4)(2,3)$$ これらと恒等元$e$だけを集めた$V \leqslant A_{4}$はクラインの四元群と同型である。その意味で、このポストでは、これらを単にクライン四元と呼ぼう。

さて、$H$がこれらの元とどのような関係にあるか見てみよう…

1. $H$は群であるから、恒等元$e$を持たなければならないので、実際には$5$個の巡回を選ぶ必要がある。
2. ラグランジュの定理が成立すると仮定すると、濃度が$2$である$H_{2} \subset H$も存在しなければならないので、$H$には少なくとも一つのクライン四元を含まなければならない。
3. クライン四元は3つしかないので、$H$は少なくとも2つの$3$-巡回を含む必要がある。
4. $\alpha \in H$ならば、$\alpha^2 \in H$でなければならない。しかし、$(1,i,j)^{2} = (1,j,i)$ であるため、$H$に$3$-巡回が含まれる場合、偶数個でなければならない。恒等元を含むために、$6$個を持つことはできない。

要するに、$H$は少なくとも一つのクライン四元と少なくとも2つの$3$-巡回を持つ必要があり、特に$3$-巡回は偶数個でなければならないので、可能性は$3$-巡回が2つか4つかのみである。単純にケースを分けて考えよう。

• Case 1: $3$-巡回2つ、クライン四元3つ
  $$(a,b,c) \circ (a,c)(b,d) = (b,d,c) \notin H$$ どの巡回$(a,b,c)$を含むかに関わらず、$H$は全てのクライン四元を持っているので、$(b,d,c)$を得て、したがって$H$は巡回の積に対して閉じていない。

• Case 2: $3$-巡回4つ、クライン四元1つ
  一般性を失わず、$H$の$3$-巡回の一つを$(a,b,c)$、クライン四元を$(a,b)(c,d)$とする。ポイントは、$(a,b,c)$に含まれない$d$がクライン四元には存在することである。 $$ (a,b,c) \circ (a,b)(c,d) = (c,d,a) = (a,c,d) $$ したがって、$H$は正確に$3$-巡回$(a,b,c), (a,c,b), (a,c,d), (a,d,c)$を持たなければならない。しかし、 $$ (a,d,c) \circ (a,b)(c,d) = (b, d, a) = (a,b,d) \notin H $$ したがって、やはり$H$は巡回の積に対して閉じていない。

ラグランジュの定理の逆が成立しないことを示す反例として、$H$が群になり得ないことを確認した。

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