📂ルベーグ空間

L1空間

定義¹

次のように関数空間$L^{1}$を定義する。

$$ L^{1} (E) := \left\{ f : E \to \mathbb{R} \Big \vert \int_{E} | f | dm \lt \infty \right\} $$

性質

1. $L^{1}$はベクトル空間だ。
2. $L^{1}$はノルム空間だ。ノルムは以下のように定義される。 $$ \left\| f \right\|_{1} := \int \left| f(x) \right| dx $$
3. $L^{1}$は完備空間だ。

説明

$L^{1}$空間は$L^{p}$空間の$p=1$の時の特別なケースであり、ルベーグ可積分について話す時に、可積分な関数の集まりとして定義された。

$L^{p}$空間に関する一般化された証明はここを参照。

証明

2.

ノルムの定義

$V$を$\mathbb{F}$上のベクトル空間としよう。関数$\left\| \cdot \right\| : V \to \mathbb{F}$が$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$と$k \in \mathbb{F}$に対して以下の三つの条件を満たすなら、$\left\| \cdot \right\|$を**$V$上のノルム**と定義する。

• 正定値性: $\left\| \mathbf{u} \right\| \ge 0$かつ$\mathbf{u} = \mathbb{0} \iff \left\| \mathbf{u} \right\| = 0$
• 斉次性: $\left\|k \mathbf{u} \right\| = | k | \left\| \mathbf{u} \right\| $
• 三角不等式: $\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v}\right\| \le \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\| \mathbf{u} \right\|$

$L ^{1}$のノルムを$\displaystyle \left\| f \right\|_{1} := \int_{E} |f| dm$として定義しよう。

• Part 1. 正定値性

  $| f | \ge 0$より、ほとんど至る所で$f = 0$ならば$\left\| f \right\|_{1} = 0$である。逆に、$\left\| f \right\|_{1} = 0$ならば、ほとんど至る所で$f = 0$でなければならない。

• Part 2. 斉次性

  $$\left\| c f \right\| _{1} = \int_{E} | c f | dm = |c| \int_{E} | f | dm = |c| \left\| f \right\| _{1}$$

• Part 3. 三角不等式

  $$ \left\| f + g \right\|_{1} = \int_{E} | f + g | dm \le \int_{E} | f | dm + \int_{E} | g | dm = \left\| f\right\|_{1} + \left\| g\right\|_{1} $$

■

3.

完備性

ベクトル空間$X$に対して、ノルム$\left\| \cdot \right\|_{X}$が定義されているとしよう。すべての$\varepsilon > 0$に対して $$n, m \ge N \implies \left\| f_{n} - f_{m} \right\|_{X} \lt \varepsilon$$ $N \in \mathbb{N}$が存在するなら、数列$f_{n} \in X$をコーシー数列と言う。もしすべてのコーシー数列が$X$の要素に収束するなら、$X$を完備と言う。

$f_{n} \in L^{1}$がコーシー数列なら

$$ \left\| f_{n} - f_{N_{1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2}} $$

$N_{1}$が存在し、同様に

$$ \left\| f_{n} - f_{N_{2}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^2}} $$

$N_{2} > N_{1}$が存在する。この方法で $$ \left\| f_{n} - f_{N_{n}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}} $$ $N_{n} > N_{n-1}$が存在する。三角不等式により $$ \left\| f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt \left\| f_{N_{n}} - f_{n} \right\|_{1} + \left\| f_{n} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}} + {{1} \over {2^{n-1}}} \lt {{3} \over {2^{n}}} $$

レヴィの定理

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm \lt \infty$ならば$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)$はほとんど至る所では収束し、以下が成立する。

$$ \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm $$

レヴィの定理により、$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} |_{1}$は収束する。したがって、以下はほとんど至る所で収束する。

$$ f_{N_{1}}(x) + \sum_{n=2}^{ k } \left[ f_{N_{n}} (x) - f_{N_{n-1}} (x) \right] = f_{N_{k}} $$

ここで、右辺が$f(x)$に収束するとすれば、右辺の$f_{N_{k}} (x)$も$f(x)$に収束する。

ファトゥの補助定理

関数値が非負の可測関数の数列$\left\{ f_{n} \right\}$に対して

$$ \displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

ファトゥの補助定理により、

$$ \begin{align*} \left\| f - f_{n} \right\|_{1} =& \int |f - f_{n}| dm \\ \le & \liminf_{k \to \infty} \int | f_{N_{k}} - f_{n}| dm \\ =& \liminf_{k \to \infty} \left\| f_{N_{k}} - f_{n} \right\| \\ \lt& \varepsilon \end{align*} $$

$f_{n}$がコーシー数列であるため、任意の$\varepsilon > 0$に対して上記の不等式が成立し、したがって$\left\| f_{n} - f \right\|_{1} \to 0$である。要約すると、$f_{n}$がコーシーで、その部分数列が$f$に収束するので、$f_{n}$は$f$に収束する。ここで、$f - f_{n} \in L^{1}$であり、$L^{1}$がベクトル空間なので、

$$ ( f - f_{n} ) + f_{n} = f \in L^{1} $$

$L^{1}$のすべてのコーシー数列が$L^{1}$の要素に収束するので、$L^{1}$は完備空間である。

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参照

• $L^{p}$空間
• $L^{2}$空間