L1空間
定義1
関数空間$L^{1}$を次のように定義する。
$$ L^{1} (E) := \left\{ f : E \to \mathbb{R} \Big \vert \int_{E} | f | dm \lt \infty \right\} $$
性質
- $L^{1}$はベクトル空間である。
- $L^{1}$はノルム空間である。ノルムは次のように定義される。 $$ \left\| f \right\|_{1} := \int \left| f(x) \right| dx $$
- $L^{1}$は完備空間である。
説明
$L^{1}$空間は$L^{p}$空間の$p=1$のときの特殊な場合であり、ルベーグ積分可能性について論じるとき積分可能な関数の集合として定義されたことがある。
$L^{p}$空間についての一般化された証明はこちらを参照しよう。
証明
2.
$V$を$\mathbb{F}$上のベクトル空間としよう。関数$\left\| \cdot \right\| : V \to \mathbb{F}$が$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$と$k \in \mathbb{F}$に対して次の三つの条件を満たすとき、$\left\| \cdot \right\|$を**$V$上のノルム**であると定義する。
- 正定値性: $\left\| \mathbf{u} \right\| \ge 0$かつ$\mathbf{u} = \mathbb{0} \iff \left\| \mathbf{u} \right\| = 0$
- 同次性: $\left\|k \mathbf{u} \right\| = | k | \left\| \mathbf{u} \right\| $
- 三角不等式: $\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v}\right\| \le \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\| \mathbf{u} \right\|$
$L ^{1}$のノルムを$\displaystyle \left\| f \right\|_{1} := \int_{E} |f| dm$のように定義しよう。
Part 1. 正定値性
$| f | \ge 0$であるから$\left\| f \right\|_{1} \ge 0$であり、ほとんど至るところで$f = 0$なら$\left\| f \right\|_{1} = 0$である。逆に$\left\| f \right\|_{1} = 0$ならほとんど至るところで$f = 0$でなければならない。
Part 2. 同次性
$$\left\| c f \right\| _{1} = \int_{E} | c f | dm = |c| \int_{E} | f | dm = |c| \left\| f \right\| _{1}$$
Part 3. 三角不等式
$$ \left\| f + g \right\|_{1} = \int_{E} | f + g | dm \le \int_{E} | f | dm + \int_{E} | g | dm = \left\| f\right\|_{1} + \left\| g\right\|_{1} $$
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3.
ベクトル空間$X$に対してノルム$\left\| \cdot \right\|_{X}$が定義されているとしよう。すべての$\varepsilon > 0$に対して $$n, m \ge N \implies \left\| f_{n} - f_{m} \right\|_{X} \lt \varepsilon$$ を満たす$N \in \mathbb{N}$が存在すれば、数列$f_{n} \in X$をコーシー数列という。もしすべてのコーシー数列が$X$の元に収束すれば、$X$を完備であるという。
$f_{n} \in L^{1}$をコーシー数列とすると
$$ \left\| f_{n} - f_{N_{1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2}} $$
を満たす$N_{1}$を取ることができ、同様に
$$ \left\| f_{n} - f_{N_{2}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^2}} $$
を満たす$N_{2} > N_{1}$を取ることができる。このような方法で $$ \left\| f_{n} - f_{N_{n}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}} $$ を満たす$N_{n} > N_{n-1}$を取ることができる。三角不等式により $$ \left\| f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt \left\| f_{N_{n}} - f_{n} \right\|_{1} + \left\| f_{n} - f_{N_{n-1}} \right\|_{1} \lt {{1} \over {2^n}} + {{1} \over {2^{n-1}}} \lt {{3} \over {2^{n}}} $$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm \lt \infty$なら$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)$はほとんど至るところで収束し、次が成り立つ。
$$ \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm $$
レヴィの定理により$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} | f_{N_{n}} - f_{N_{n-1}} |_{1}$は収束する。したがって次はほとんど至るところで収束する。
$$ f_{N_{1}}(x) + \sum_{n=2}^{ k } \left[ f_{N_{n}} (x) - f_{N_{n-1}} (x) \right] = f_{N_{k}} $$
ここで右辺が$f(x)$に収束するとすれば、右辺の$f_{N_{k}} (x)$もまた$f(x)$に収束する。
関数値が非負の可測関数の数列$\left\{ f_{n} \right\}$に対して
$$ \displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$
ファトゥの補題により
$$ \begin{align*} \left\| f - f_{n} \right\|_{1} =& \int |f - f_{n}| dm \\ \le & \liminf_{k \to \infty} \int | f_{N_{k}} - f_{n}| dm \\ =& \liminf_{k \to \infty} \left\| f_{N_{k}} - f_{n} \right\| \\ \lt& \varepsilon \end{align*} $$
仮定において$f_{n}$がコーシー数列であるから、任意の$\varepsilon > 0$に対して上の不等式が成り立ち、したがって$\left\| f_{n} - f \right\|_{1} \to 0$である。短く要約すると$f_{n}$がコーシーであり、その部分列が$f$に収束するので、$f_{n}$は$f$に収束する。ここで$f - f_{n} \in L^{1}$であるが、$L^{1}$はベクトル空間であるから
$$ ( f - f_{n} ) + f_{n} = f \in L^{1} $$
$L^{1}$のすべてのコーシー数列が$L^{1}$の元に収束するので、$L^{1}$は完備空間である。
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関連リンク
Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p127. ↩︎