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ハウスドルフ空間では、数列の極限は一意である 📂位相幾何学

ハウスドルフ空間では、数列の極限は一意である

定理

T2T_{2}-空間XX上の数列{xn}\left\{ x_{n} \right\}は、二つ以上の異なる点に収束しない。

説明

極限の一意性の重要性について、わざわざ逆説的に強調する必要があるだろうか。こんな性質があるというのは、ハウスドルフ空間が有用であるという証拠になる。

注意すべきことは、「ただ一つの点に収束する」と表現するのとは少し違うということだ。その表現を使いたいのであれば、「数列が収束するならば、ただ一つの点に収束する」と言い換えなければならない。

証明

{xn}\left\{ x_{n} \right\}が異なる二点a,bXa,b \in Xに収束すると仮定しよう。

XXT2T_{2}-空間なので aUbVUV= a \in U \\ b \in V \\ U \cap V = \emptyset を満たす開集合U,VXU, V \subset Xが存在する。そうすると nn1    xnUnn2    xnV n \ge n_{1} \implies x_{n} \in U \\ n \ge n_{2} \implies x_{n} \in V を満たすn1,n2Nn_{1} , n_{2} \in \mathbb{N}が存在する。しかし nmax{n1,n2}    xnUV= n \ge \max \left\{ n_{1} , n_{2} \right\} \implies x_{n} \in U \cap V = \emptyset であるため、これは矛盾である。