ハウスドルフ空間では、数列の極限は一意である
📂位相幾何学ハウスドルフ空間では、数列の極限は一意である
定理
T2-空間のX上の数列{xn}は、二つ以上の異なる点に収束しない。
説明
極限の一意性の重要性について、わざわざ逆説的に強調する必要があるだろうか。こんな性質があるというのは、ハウスドルフ空間が有用であるという証拠になる。
注意すべきことは、「ただ一つの点に収束する」と表現するのとは少し違うということだ。その表現を使いたいのであれば、「数列が収束するならば、ただ一つの点に収束する」と言い換えなければならない。
証明
{xn}が異なる二点a,b∈Xに収束すると仮定しよう。
XはT2-空間なので
a∈Ub∈VU∩V=∅
を満たす開集合U,V⊂Xが存在する。そうすると
n≥n1⟹xn∈Un≥n2⟹xn∈V
を満たすn1,n2∈Nが存在する。しかし
n≥max{n1,n2}⟹xn∈U∩V=∅
であるため、これは矛盾である。
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