📂行列代数

エルミート行列の固有値対角化：スペクトル理論の証明

定理

可逆行列 $A \in \mathbb{C}^{m \times m}$ の固有値 $\lambda_{i}$ で構成される対角行列を$\Lambda : = \text{diag} ( \lambda_{1} , \lambda_{2} , \cdots , \lambda_{m} )$とし、その固有値に対応する正規直交固有ベクトル$\mathbb{q}_{i}$で構成される直交行列を$Q$とする。

スペクトル理論

$A$がエルミート行列であることと、ユニタリ対角化可能であることは等価である。 $$ A = A^{\ast} \iff A = Q \Lambda Q^{\ast} $$

説明

$A^{\ast} = \left( \overline{A} \right)^{T}$は$A$に複素共役を取った行列の転置行列で、エルミート行列と呼ばれる。 スペクトル理論^{spectral Theory}は次のように説明される。

可逆行列 $A \in \mathbb{C}^{m \times m}$ がユニタリ対角化可能であることは、必要十分条件である。 $$A A^{\ast} = A ^{\ast} A $$

可逆行列を分解できるという事実自体は固有値対角化の過程で確認された。スペクトル理論はその逆が成立する条件を提示しており、非常に重要であると言える。即座に応用可能な分野としては統計学があり、主成分分析の理論的基盤となっている。

一方、スペクトル理論で言及される$A = Q \Lambda Q^{\ast}$を固有対$\left\{ \left( \lambda_{k} , e_{k} \right) \right\}_{k=1}^{n}$の級数形で示したものをスペクトル分解^{spectral Decomposition}という。 $$ A = \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} e_{k} e_{k}^{\ast} $$

証明¹

$(\Longrightarrow)$

可逆行列 $A$ はシュール分解可能であるため、$A = Q T Q^{\ast}$を満たすユニタリ行列$Q$と上三角行列$T$が存在する。一方で$A^{\ast} = A$であるため、

$$ Q T Q^{\ast} = Q T^{\ast} Q^{\ast} $$

つまり$T = T^{\ast}$である。これを満たす上三角行列は対角行列であるため、

$$ T = \Lambda := \text{diag} ( \lambda_{1} , \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m}) $$

になる。$A = Q \Lambda Q^{\ast}$の両辺の右に$Q$を掛けると、

$$ A Q = Q \Lambda $$

ここで$Q:= \begin{bmatrix} \mathbb{q}_{1} & \mathbb{q}_{2} & \cdots & \mathbb{q}_{m} \end{bmatrix}$はユニタリ行列であるため$A \mathbb{q}_{i} = \lambda_{i} \mathbb{q}_{i}$であり、したがって$\lambda_{i}$は$A$の固有値となる。

$(\Longleftarrow)$

$A$がエルミート行列であるため、固有値はすべて実数であり、$\Lambda^{\ast} = \Lambda$ となります。したがって、

$$ A^{\ast} = ( Q \Lambda Q^{\ast} )^{\ast} = Q \Lambda^{\ast} Q^{\ast} = Q \Lambda Q^{\ast} = A $$

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