📂行列代数

直交三角行列は冪零である

定理¹

$n \times n$ 上三角行列 $A$は冪零行列である。

説明

逆は成り立たない。簡単な反例として$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$の時、

$$A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

証明方法は同じだから、上三角行列についてのみ説明する。

証明

数学的帰納法で証明する。

• $n=1$の時、成り立つ。

  $A$を$1 \times 1$上三角行列とする。 $$A = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$$ 明らかに冪零である。

• $n=k$の時成り立つと仮定すると、$n=k+1$の時も成り立つ。

  $A$を$(k+1) \times (k+1)$上三角行列とする。すると$k \times k$上三角行列$B$について、$A$は以下のようなブロック行列として表される。 $$A = \begin{bmatrix} B & \begin{bmatrix} a_{1k+1} \\ a_{2k+1} \\ \vdots \\ a_{kk+1} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B & C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix}$$ すると$A$の冪乗を計算してみると、以下のようになる。 $$\begin{align*} A^{2} &= \begin{bmatrix} B & C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B & C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B^{2} & BC \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \\ A^{3} &= \begin{bmatrix} B^{2} & BC \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B & C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B^{3} & B^{2}C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \\ \vdots & \\ A^{p+1} &= \begin{bmatrix} B^{p+1} & B^{p}C \\ O_{1k} & \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \end{align*}$$ $B^{p} = O_{kk}$とする。すると$A^{p+1} = O_{k+1k+1}$だから、$n=k+1$の上三角行列は冪零である。

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