ベクトル場のリー括弧
📂幾何学ベクトル場のリー括弧
定義
微分多様体 M における二つの微分可能なベクトル場 X,Yに対して、[X,Y]を以下のように定義し、(リー-)ブラケット(Lie-)bracket、リー演算またはリー代数Lie-algebraと呼ぶ。
[X,Y]:=XY−YX
説明
ベクトル場 X,Yは、D(M)に作用するオペレーターと見ることができ、XYはベクトル場にならないが、[X,Y]=XY−YXはベクトル場になる。
(1)のような式を満たす[⋅,⋅]は一般に交換子commutatorと呼ばれる。
以下の定理では(a)、(b)、(c)は、リー・ブラケットでなくても、交換子であれば一般的に満たされる性質である。特に(c)はヤコビ恒等式Jacobi identityと呼ばれる。
定理
X,Y,ZをM上の微分可能なベクトル場とする。a,bを実数、f,gをM上の微分可能な関数とする。すると、以下が成立する。
(a) [X,Y]=−[Y,X]
(b) [aX+bY,Z]=a[X,Y]+b[Y,Z]
(c) [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0
(d) [fX,gY]=fg[X,Y]+fX(g)Y−gY(f)X
証明
(d)
積の微分X(gY)=X(g)Y+gXYが成立するため、
[fX,gY]=fX(gY)−gY(fX)=(fX(g)Y+fgXY)−(gY(f)X−gfYX)=fgXY−fgYX+fX(g)Y+gY(f)X=fg(XY−YX)+fX(g)Y+gY(f)X=fg[X,Y]+fX(g)Y+gY(f)X
■