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ベクトル場のリー括弧 📂幾何学

ベクトル場のリー括弧

定義1

微分多様体 MM における二つの微分可能なベクトル場 X,YX, Yに対して、[X,Y][X, Y]を以下のように定義し、(リー-)ブラケット(Lie-)bracket、リー演算またはリー代数Lie-algebraと呼ぶ。

[X,Y]:=XYYX \begin{equation} [X, Y] := XY - YX \end{equation}

説明

ベクトル場 X,YX, Yは、D(M)\mathcal{D}(M)に作用するオペレーターと見ることができ、XYXYはベクトル場にならないが、[X,Y]=XYYX[X, Y] = XY - YXベクトル場になる。

(1)(1)のような式を満たす[,][\cdot, \cdot]は一般に交換子commutatorと呼ばれる。

以下の定理では(a)、(b)、(c)は、リー・ブラケットでなくても、交換子であれば一般的に満たされる性質である。特に(c)ヤコビ恒等式Jacobi identityと呼ばれる。

定理

X,Y,ZX, Y, ZMM上の微分可能なベクトル場とする。a,ba, bを実数、f,gf, gMM上の微分可能な関数とする。すると、以下が成立する。

(a) [X,Y]=[Y,X][X, Y] = -[Y, X]

(b) [aX+bY,Z]=a[X,Y]+b[Y,Z][aX + bY, Z] = a[X, Y] + b[Y, Z]

(c) [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0[ [X, Y], Z] + [ [Y, Z], X] + [ [Z, X], Y] = 0

(d) [fX,gY]=fg[X,Y]+fX(g)YgY(f)X[fX, gY] = fg[X, Y] + fX(g)Y - gY(f)X

証明

(d)

積の微分X(gY)=X(g)Y+gXYX(gY) = X(g)Y + gXYが成立するため、

[fX,gY]=fX(gY)gY(fX)=(fX(g)Y+fgXY)(gY(f)XgfYX)=fgXYfgYX+fX(g)Y+gY(f)X=fg(XYYX)+fX(g)Y+gY(f)X=fg[X,Y]+fX(g)Y+gY(f)X \begin{align*} [fX, gY] &= fX(gY) - gY(fX) \\ &= \left( fX(g)Y + fgXY \right) - \left( gY(f)X - gfYX \right) \\ &= fgXY - fgYX + fX(g)Y + gY(f)X\\ &= fg(XY - YX) + fX(g)Y + gY(f)X\\ &= fg[X, Y] + fX(g)Y + gY(f)X \end{align*}


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p27-28 ↩︎