📂幾何学

二階微分形式

概要

二項演算 $\wedge$を定義し、1次微分形式を定義した感覚で、微分多様体 $M$に対する2次形式を定義する。

微分多様体が難しいと感じるなら、$M = \mathbb{R}^{n}$と考えてもいい。

ビルドアップ¹

1次形式 $\omega$を考えてみよう。

$$ \begin{align*} \omega : M &\to T^{\ast}M \\ p &\mapsto \omega_{p} \end{align*} $$

これは、$n$次元の微分多様体 $M$の点 $p$を、余接空間の要素 $\omega_{p} \in T_{p}^{\ast}M$へマッピングする。すると、$\omega_{p}$は$T_{p}M$の双対空間の要素なので、以下のような汎関数である。

$$ w_{p} : T_{p}M \to \mathbb{R} $$

つまり、「1次」形式は点 $p$を、$p$における接ベクトル「1つ」を変数とする関数 $\omega_{p}$へマッピングすると考えることができる。この感じで「2次」形式を定義することにする。

ウェッジ積

関数 $\varphi : T_{p}M \times T_{p}M \to \mathbb{R}$を双線形な交代関数としよう。

$$ \varphi (v_{1}, v_{2}) = - \varphi (v_{2}, v_{1}),\quad v_{i} \in T_{p}M $$

このような$\varphi$の集合を$\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$と表記しよう。

$$ \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M) := \left\{ \varphi : T_{p}M \times T_{p}M \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is bilinear and alternate} \right\} $$

さて、$T_{p}^{\ast}M$の2つの要素を$\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$へ送る二項演算 $\wedge : T_{p}^{\ast}M \times T_{p}^{\ast}M \to \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$を定義してみよう。これは$\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$の要素を$T_{p}^{\ast}M$の要素で表現しようという意味だ。すると$\varphi_{1}, \varphi_{2} \in T_{p}^{\ast}M$とした場合、$\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$は交代関数の集合なので、次が成立しなければならない。（ちなみに記号 $\wedge$自体は[wedge]と読み、二項演算 $\wedge$はウェッジ積または外積と呼ばれる。TeXコードは\wedge）

$$ \varphi_{1} \wedge \varphi_{2} \in \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M) $$

$$ (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2}) (v_{1}, v_{2}) = - (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2}) (v_{2}, v_{1}),\quad v_{i} \in T_{p}M $$

$\wedge$を以下のように定義すると、上記の条件を正確に満たす。

$$ (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(v_{1}, v_{2}) := \det \left[ \phi_{i}(v_{j}) \right] $$

この時、$i$は行のインデックスを、$j$は列のインデックスを意味する。もちろんウェッジ積$\wedge$自体も交代関数になる。

交代性

$$ \begin{align*} (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(v_{1}, v_{2}) =&\ \det \left[ \varphi_{i}(v_{j}) \right] \\ =&\ \begin{vmatrix} \varphi_{1}(v_{1}) & \varphi_{1}(v_{2}) \\ \varphi_{2}(v_{1}) & \varphi_{2}(v_{2}) \end{vmatrix} \\ =&\ - \begin{vmatrix} \varphi_{1}(v_{2}) & \varphi_{1}(v_{1}) \\ \varphi_{2}(v_{2}) & \varphi_{2}(v_{1}) \end{vmatrix} & \text{by property of determinant} \\ =&\ - (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(v_{2}, v_{1}) \end{align*} $$

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線形性

$\text{for } a\in \mathbb{R}$,

$$ \begin{align*} & (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(av_{1} + v_{2}, w) \\[1em] =&\ \begin{vmatrix} \varphi_{1}(av_{1}+v_{2}) & \varphi_{1}(w) \\ \varphi_{2}(av_{1}+v_{2}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} \\[1em] =&\ \begin{vmatrix} a\varphi_{1}(v_{1}) + \varphi_{1}(v_{2}) & \varphi_{1}(w) \\ a\varphi_{2}(v_{1}) + \varphi_{2}(v_{2}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} & \text{by linearity of } \varphi_{i} \\[1em] =&\ \begin{vmatrix} a\varphi_{1}(v_{1}) & \varphi_{1}(w) \\ a\varphi_{2}(v_{1}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}\varphi_{1}(v_{2}) & \varphi_{1}(w) \\ \varphi_{2}(v_{2}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} & \text{by property of determinant} \\[1em] =&\ a\begin{vmatrix} \varphi_{1}(v_{1}) & \varphi_{1}(w) \\ \varphi_{2}(v_{1}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \varphi_{1}(v_{2}) & \varphi_{1}(w) \\ \varphi_{2}(v_{2}) & \varphi_{2}(w) \end{vmatrix} & \text{by property of determinant} \\[1em] =&\ a(\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(v_{1}, w) + (\varphi_{1} \wedge \varphi_{2})(v_{2}, w) \end{align*} $$

■

基底

これで、$T_{p}^{\ast}M$の基底 $\left\{ (dx_{j})_{p} \right\}_{j}$たちのウェッジ積を考えてみよう。すぐに察しがつくかもしれないが、これらが$\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$の基底になることが予想できるだろう。便宜上、以下のように表記しよう。

$$ (dx_{i} \wedge dx_{j})_{p} \overset{\text{notation}}{=} (dx_{i})_{p} \wedge (dx_{j})_{p} \in \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M) $$

すると、$\left\{ (dx_{i} \wedge dx_{j})_{p} : i \lt j \right\}$は実際に$\Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$の基底になり、次が成立する。

$$ (dx_{i} \wedge dx_{j})_{p} = - (dx_{j} \wedge dx_{i})_{p},\quad i \ne j \\[1em] (dx_{i} \wedge dx_{i})_{p} = 0 $$

これで2次形式を定義する準備ができた。

定義

点 $p \in M$を次のようにマッピングする関数 $\omega : M \to \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$を$M$での2次形式^{exterior form of degree 2}と定義する。

$$ \omega (p) = a_{12}(p)(dx_{1} \wedge dx_{2})_{p} + a_{13}(p)(dx_{1} \wedge dx_{3})_{p} + a_{23}(p)(dx_{2} \wedge dx_{3})_{p} $$

$\omega$は単に以下のように表記する。

$$ \begin{align*} \omega =&\ a_{12}dx_{1} \wedge dx_{2} + a_{13}dx_{1} \wedge dx_{3} + a_{23}dx_{2} \wedge dx_{3} \\ =&\ a_{ij}dx_{i}\wedge dx_{j} (i \lt j) & \text{by Einstein notation} \end{align*} $$

この時、$a_{ij} : M \to \mathbb{R}$である。各$a_{ij}$が微分可能であれば、$\omega$を2次微分形式^{differential form of degree 2}と呼ぶ。

参考

• 余接空間と1次微分形式
• 2次微分形式
• k次微分形式