📂幾何学

測地線座標変換

定理¹

$M$を曲面とし、$\alpha : [a,b] \to M$を閉じていない単純正則曲線とする。すると、$\alpha$に沿った測地線座標チャート$\mathbf{x}$が曲面$M$に存在する。

性質

測地座標チャート$\mathbf{x}$のメトリック係数を$\left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & h^{2} \end{bmatrix}$とする。($h \gt 0$)

$$g = \det(\left[ g_{ij} \right]) = h^{2} = g_{22}$$

クリストッフェル記号

$\mathbf{x}$のクリストッフェル記号は以下の通りで、それ以外は全て$0$である。

$$\Gamma_{22}^{1} = -hh_{1},\quad \Gamma_{12}^{2} = \Gamma_{21}^{2} = \dfrac{h_{1}}{h},\quad \Gamma_{22}^{2} = \dfrac{h_{2}}{h}$$

この場合、$(u^{1}, u^{2})$は$U$の座標であり、$h_{i} = \dfrac{\partial h}{\partial u^{i}}$である。

ガウス曲率

ガウス曲率は$K = -\dfrac{h_{11}}{h}$である。