測地線座標変換
定理1
$M$を曲面とし、$\alpha : [a,b] \to M$を閉じていない単純正則曲線とする。すると、$\alpha$に沿った測地線座標チャート$\mathbf{x}$が曲面$M$に存在する。
性質
測地座標チャート$\mathbf{x}$のメトリック係数を$\left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & h^{2} \end{bmatrix}$とする。($h \gt 0$)
$$ g = \det(\left[ g_{ij} \right]) = h^{2} = g_{22} $$
クリストッフェル記号
$\mathbf{x}$のクリストッフェル記号は以下の通りで、それ以外は全て$0$である。
$$ \Gamma_{22}^{1} = -hh_{1},\quad \Gamma_{12}^{2} = \Gamma_{21}^{2} = \dfrac{h_{1}}{h},\quad \Gamma_{22}^{2} = \dfrac{h_{2}}{h} $$
この場合、$(u^{1}, u^{2})$は$U$の座標であり、$h_{i} = \dfrac{\partial h}{\partial u^{i}}$である。
ガウス曲率
ガウス曲率は$K = -\dfrac{h_{11}}{h}$である。
Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p176 ↩︎