📂偏微分方程式

コーシー問題、初期値問題

定義¹

開いた集合 $\Omega=\mathbb{R}^{n}$で定義された偏微分方程式が与えられたとする。時間が $t=0$の時の$\Omega$での未知数 $u$の値、つまり初期値^{initial value}が与えられたとしよう。こんな偏微分方程式の解を探す問題を コーシー問題^{Cauchy problem} あるいは 初期値問題^{initial value problem}と言う。

説明

略称のIVPがよく使われる。

例

例えば熱方程式のコーシー問題を解くというのは、以下の条件が与えられた時の解を探すことである。

$$ \left\{ \begin{align*} u_{t} -\Delta u &= 0 && \text{in } \mathbb{R}^{n} \times (0,\infty) \\ u &= g && \text{on } \mathbb{R}^{n} \times \left\{ t=0 \right\} \end{align*} \right. $$

参照

• 境界値問題(BVP)