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コーシー問題、初期値問題 📂偏微分方程式

コーシー問題、初期値問題

定義1

開いた集合 Ω=Rn\Omega=\mathbb{R}^{n}で定義された偏微分方程式が与えられたとする。時間が t=0t=0の時のΩ\Omegaでの未知数 uuの値、つまり初期値initial valueが与えられたとしよう。こんな偏微分方程式の解を探す問題を コーシー問題Cauchy problem あるいは 初期値問題initial value problemと言う。

説明

略称のIVPがよく使われる。

例えば熱方程式のコーシー問題を解くというのは、以下の条件が与えられた時の解を探すことである。

{utΔu=0in Rn×(0,)u=gon Rn×{t=0} \left\{ \begin{align*} u_{t} -\Delta u &= 0 && \text{in } \mathbb{R}^{n} \times (0,\infty) \\ u &= g && \text{on } \mathbb{R}^{n} \times \left\{ t=0 \right\} \end{align*} \right.

参照


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p57 ↩︎