📂位相データ分析

円の基本群は整数群と同型である

定理

単位円 $S^{1}$の基本群 $\pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right)$ と 整数群 $\mathbb{Z}$ は 同型である。 $$\pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right) \simeq \mathbb{Z}$$ ここで、$(1,0) \in \mathbb{R}^{2}$ を簡単に $1$ とも表す。

説明

応用

ホモトピーを学ぶ中で得られる最大かつ最重要な結果のひとつが、$S^{1}$の基本群が整数群であることだ。その応用として次のようなものが知られている：

• 代数の基本定理の位相幾何学的証明
• ブラウアーの不動点定理
• ボルスク-ウラム定理

しかし、この定理が持つ意味は、その応用に関係なく、自体にも尊いものである。点ではなくループで空間を研究するという代数位相幾何学のアイデアから$S^{1}$が何よりもまず考慮されるべき対象である。

直観的な意味

「円の基本群が整数と同型である」ということは、単にループが反時計回り(+)か時計回り(-)にいくつなされるか(n)だけのことだが、この代数的事実に基づいて位相幾何学のいくつかの難しい領域に挑戦できるようになる。

多次元スフィアの基本群は自明群である

$$\pi_{1} \left( S^{n} \right) \simeq 0 \qquad , n \ge 2$$ $n \ge 2$ について、$n$-スフィア $S^{n}$ の基本群は自明群である。

直観的にも$n = 2$の時、$S^{2}$ を想像すれば、上の図のようにすべてのループは表面を通って一点に収束するしかない。具体的な証明はHatcherを参照されたい¹。

証明 ²

パート1. 関数 $\varphi$ の定義

基本群の定義により、すべてのループ $[f] \in \pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right)$ は $1$ から始まり$1$ で終わらなければならない。$[f]$ が反時計回りに1周する回数を $\deg_{+} (f)$ 、時計回りに回る回数を $\deg_{-} (f)$ とした時、次のように $\varphi : \pi_{1} \left( S^{1}, 1 \right) \to \mathbb{Z}$ を定義しよう。 $$\varphi \left( \left[ f \right] \right) := \deg_{+} (f) - \deg_{-} (f)$$

モノドロミー定理: $1$-スフィア $S^{1}$ 上で $1 := (1,0)$ を起点とする経路 $f_{0} \simeq f_{1}$ が二つ与えられているとする。それぞれのリフトが $\widetilde{f}_{0}, \widetilde{f}_{1}$ が $\widetilde{f}_{0} (0) = \widetilde{f}_{1} (0)$ を満たすならば、$\widetilde{f}_{0} (1) = \widetilde{f}_{1} (1)$ である。

$\widetilde{f} (0) = 0$ とすると、モノドロミー定理により $\varphi \left( [f] \right) = \widetilde{f} (1)$ に対して唯一の $\widetilde{f} : I \to \mathbb{R}$ が存在し、$\varphi$ は関数であると分かる。次に、$\varphi$が同型であることを示す。