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シンプレックスの定義 📂幾何学

シンプレックスの定義

定義 1

  1. アフィン独立(../2315)な v0,v1,,vnRn+1v_{0}, v_{1} , \cdots , v_{n} \in \mathbb{R}^{n+1}凸包nn-シンプレックスnn-simplex Δn\Delta^{n} と言い、ベクトル vkv_{k}頂点vertexと言う。数式的には次のようになる。 Δn:={ktkvk:vkRn+1,tk0,ktk=1} \Delta^{n} := \left\{ \sum_{k} t_{k} v_{k} : v_{k} \in \mathbb{R}^{n+1} , t_{k} \ge 0 , \sum_{k} t_{k} = 1 \right\}
  2. Δn\Delta^{n} から一つの頂点を取り除いてできる n1n-1-シンプレックス Δn1\Delta^{n-1}Δn\Delta^{n}faceと言い、Δn\Delta^{n} の全ての面の合併Δn\Delta^{n}境界boundaryと言って、Δn\partial \Delta^{n}で表す。
  3. シンプレックスの内部 (Δn):=ΔnΔn\left( \Delta^{n} \right)^{\circ} := \Delta^{n} \setminus \partial \Delta^{n}オープンシンプレックスopen Simplexと言う。

  • アフィン独立(../2315)とは、v1v0,v2v0,,vnv0v_{1} - v_{0} , v_{2} - v_{0} , \cdots , v_{n} - v_{0}線形独立であることを指す。

説明

シンプレックス線形計画法や代数トポロジーなどで出会う概念で、その名が示す通り、単純さが特徴である。韓国語では 단체と呼ばれている。

nn-シンプレックス

定義から、凸包とnn-シンプレックスの違いは与えられたベクトルがアフィン独立(../2315)であることだけである。集合 XX の凸包とは異なり、正確にv0,v1,,vnv_{0}, v_{1} , \cdots , v_{n}だけで表現され、そのようにのみ表現される図形であること。

{(t0,t1,,tn)Rn+1:tk0,ktk=1} \left\{ \left( t_{0} , t_{1} , \cdots , t_{n} \right) \in \mathbb{R}^{n+1} : t_{k} \ge 0 , \sum_{k} t_{k} = 1 \right\}

この集合を 標準 nn-シンプレックスstandard nn-simplexと呼ぶ。ベクトル v0,v1,,vnv_{0}, v_{1} , \cdots , v_{n} の長さなどすべて無視してその組み合わせだけを表すので、標準化と呼ぶに相応しい。

例として、Δn,n=3,2,1,0\Delta^{n} , n = 3,2,1,0 を見てみよう。

20211205_110033.png

見る通り、33-シンプレックスは四面体、22-シンプレックスは三角形、11-シンプレックスは線分、00-シンプレックスはただの一つの点として表される。22-シンプレックスの三点が一直線上にあるなどの場合は、アフィン独立(../2315)の仮定から除外される。n4n \ge 4 の場合は、幾何学的に表すことはできないが、一般化には何の問題もない。

境界とオープンシンプレックス

本質的に、境界オープンシンプレックスは、距離空間で語られた境界と内部と変わらないし、表記も同一だ。

例で、33-シンプレックスの四面体の面は22-シンプレックスの三角形として現れ、面表面という表現がぴったり合うことがわかるだろう。さらに、11-シンプレックスの線分の面も両端の00-シンプレックスの点だ。この面を集めたものを境界境界と呼ぶのも非常に合理的だ。

20211205_110858.png

Δ3\Delta^{3} の境界 Δ3\partial \Delta^{3} とオープンシンプレックス (Δ3)\left( \Delta^{3} \right)^{\circ} は、図のように直感的に理解しても問題ない。


  1. Hatcher. (2002). Algebraic Topology: p103. ↩︎