シンプレックスの定義
📂幾何学シンプレックスの定義
定義
- アフィン独立(../2315)な v0,v1,⋯,vn∈Rn+1 の 凸包を n-シンプレックスn-simplex Δn と言い、ベクトル vk を 頂点vertexと言う。数式的には次のようになる。
Δn:={k∑tkvk:vk∈Rn+1,tk≥0,k∑tk=1}
- Δn から一つの頂点を取り除いてできる n−1-シンプレックス Δn−1 をΔn の 面faceと言い、Δn の全ての面の合併を Δn の 境界boundaryと言って、∂Δnで表す。
- シンプレックスの内部 (Δn)∘:=Δn∖∂Δn を オープンシンプレックスopen Simplexと言う。
- アフィン独立(../2315)とは、v1−v0,v2−v0,⋯,vn−v0 が線形独立であることを指す。
説明
シンプレックスは線形計画法や代数トポロジーなどで出会う概念で、その名が示す通り、単純さが特徴である。韓国語では 단체と呼ばれている。
n-シンプレックス
定義から、凸包とn-シンプレックスの違いは与えられたベクトルがアフィン独立(../2315)であることだけである。集合 X の凸包とは異なり、正確にv0,v1,⋯,vnだけで表現され、そのようにのみ表現される図形であること。
{(t0,t1,⋯,tn)∈Rn+1:tk≥0,k∑tk=1}
この集合を 標準 n-シンプレックスstandard n-simplexと呼ぶ。ベクトル v0,v1,⋯,vn の長さなどすべて無視してその組み合わせだけを表すので、標準化と呼ぶに相応しい。
例として、Δn,n=3,2,1,0 を見てみよう。

見る通り、3-シンプレックスは四面体、2-シンプレックスは三角形、1-シンプレックスは線分、0-シンプレックスはただの一つの点として表される。2-シンプレックスの三点が一直線上にあるなどの場合は、アフィン独立(../2315)の仮定から除外される。n≥4 の場合は、幾何学的に表すことはできないが、一般化には何の問題もない。
境界とオープンシンプレックス
本質的に、境界とオープンシンプレックスは、距離空間で語られた境界と内部と変わらないし、表記も同一だ。
例で、3-シンプレックスの四面体の面は2-シンプレックスの三角形として現れ、面表面という表現がぴったり合うことがわかるだろう。さらに、1-シンプレックスの線分の面も両端の0-シンプレックスの点だ。この面を集めたものを境界境界と呼ぶのも非常に合理的だ。

Δ3 の境界 ∂Δ3 とオープンシンプレックス (Δ3)∘ は、図のように直感的に理解しても問題ない。