📂古典力学

均一な球殻と離れた粒子の重力

一様な球殻と飛び出した粒子の重力¹

全質量が$M$、半径が$R$の一様な球殻があるとしよう。そして、球殻の中心$O$から$r$離れた場所に質量が$m$の粒子があるとする。この時、$R<r$が成り立つ。まず、球殻の一部が粒子に及ぼす力を求めてみよう。

上図のような球殻の帯を考えよう。すると、帯の半径は$R\sin \theta$だ。従って、帯の周囲は$2\pi R \sin \theta$になる。また、幅は$R\Delta \theta$と近似される。従って、帯の質量は以下のようになる。

$$ \Delta M = \rho 2\pi R^{2} \sin \theta \Delta \theta $$

ここで、$\rho=\frac{M}{4\pi R^{2}}$は球殻の単位面積当たりの質量である。現在、球殻の帯上の点Qが粒子$P$に及ぼす重力を$\Delta \mathbf{F}_{Q}$としよう。それを水平成分$\Delta \mathbf{F}_{Q}\cos \phi$と垂直成分$\Delta \mathbf{F}_{Q}\sin \phi$に分けると、垂直成分は$Q$で逆側に位置する質点による力の垂直成分で相殺されることがわかる。従って、球殻帯全体が粒子に及ぼす力$\Delta \mathbf{F}$の方向は、粒子$P$から球殻の中心$O$へ向かう方向と同じであることがわかる。また、その大きさは万有引力の法則により以下のようになる。

$$ \Delta F=G\frac{m\Delta M}{s^{2}}\cos \phi =G\frac{ m2\pi \rho R^{2} \sin \theta \cos \phi}{s^{2}}\Delta \theta $$

現在、$\theta$について積分すると、球殻全体が粒子に及ぼす力の大きさを求めることができる。

$$ \begin{equation} F = Gm2\pi \rho R^{2}\int_{0}^{\pi}\frac{\sin \theta \cos \phi}{s^{2}}d\theta \end{equation} $$

積分変数$\theta$を$s$に変換すると、積分が簡単になる。まず、三角形$OPQ$にコサインの第2法則を適用すると下記のようになる。

$$ r^{2} +R^{2} -2rR\cos\theta=s^{2} $$

$r$と$R$は定数なので、両辺を微分すると次の式を得る。

$$ \begin{align} &&2rR\sin \theta d \theta &= 2s ds \nonumber \\ \implies && \sin \theta d \theta &= \frac{s }{rR}ds \end{align} $$

同様に、角度$\phi$に対するコサインの第2法則を適用すると次の式が得られる。

$$ \begin{equation} \cos \phi = \frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2rs} \end{equation} $$

今度は$(2)$と$(3)$を$(1)$に代入し、積分を計算すると以下のようになる。

$$ \begin{align*} F &= Gm2\pi\rho R^{2}\int_{r-R}^{r+R} \frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{2Rr^{2}s^{2}}ds \\ &= \frac{ Gm2\pi R^{2}M}{4\pi R^{2}}\frac{1}{2Rr^{2}}\int _{r-R}^{r+R}\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{s^{2}}ds \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\int _{r-R}^{r+R}\frac{s^{2}+r^{2}-R^{2}}{s^{2}}ds \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\int _{r-R}^{r+R}\left( 1+\frac{r^{2}-R^{2}}{s^{2}}\right)ds \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\left[ s-\frac{(r-R)(r+R)}{s} \right]_{r-R}^{r+R} \\ &= \frac{ GmM}{4R r^{2}}\Big[ (r+R)-(r-R)-(r-R)+(r+R)\Big] \\ &= \frac{GmM}{r^{2}} \end{align*} $$

方向も加えてベクトルとして表現すると以下のようになる。

$$ \mathbf{F} = -G\frac{mM}{r^{2}}\mathbf{e}_{r} $$

ここで、$\mathbf{e}_{r}$は$O$が原点の時の半径方向の単位ベクトルである。