リーマンゼータ関数
📂関数リーマンゼータ関数
定義
次のように定義される関数 ζ:C∖{1}→C をリーマン ゼータ関数riemann zeta Function</supという。
ζ(s):=n∈N∑n−s=p:prime∏(1−p−s)−1
関連定理
[0] ラマヌジャンの和: n∈N∑xn−1=1−x1 が ∣x∣=1 でも成り立つと受け入れるなら
ζ(0)=1+1+1+1+⋯=−21
[1] オーレムの証明: ζ(1) が定義されない理由は次の通りです。
ζ(1)=n∈N∑n1=∞
[2] オイラーの証明:
ζ(2)=n∈N∑n21=6π2
[a] ガンマ関数との関係: Re(s)>1 ならば
ζ(s)Γ(s)=M[ex−11](s)=∫0∞ex−1xs−1dx
[b] ディリクレのエータ関数との関係:
η(s):=n∈N∑(−1)n−1n−s
説明
ゼータ関数は、実部が1より大きい複素数、すなわちRe(s)>1であるs内で収束し、ガンマ関数との関係を持っている。特に整数論と複素解析での関心の対象であり、その悪名高いリーマン予想の主役でもある。