リーマンゼータ関数
定義
次のように定義される関数 $\zeta : \mathbb{C} \setminus \left\{ 1 \right\} \to \mathbb{C}$ をリーマン ゼータ関数riemann zeta Function</supという。 $$ \zeta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} n^{-s} = \prod_{p : \text{prime}} \left( 1- {p^{-s}} \right)^{-1} $$
関連定理
[0] ラマヌジャンの和: $\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} x^{n-1} = {{ 1 } \over { 1-x }}$ が $|x| = 1$ でも成り立つと受け入れるなら $$ \zeta (0) = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots = - {{ 1 } \over { 2 }} $$
[1] オーレムの証明: $\zeta (1)$ が定義されない理由は次の通りです。 $$ \zeta (1) = \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n }} = \infty $$
[2] オイラーの証明: $$ \zeta (2) = \sum_{n \in \mathbb{N}} {{ 1 } \over { n^{2} }} = {{ \pi^{2} } \over { 6 }} $$
[a] ガンマ関数との関係: $\operatorname{Re} (s) > 1$ ならば $$ \zeta (s) \Gamma (s) = \mathcal{M} \left[ {{ 1 } \over { e^{x} - 1 }} \right] (s) = \int_{0}^{\infty} {{ x^{s-1} } \over { e^{x} - 1 }} dx $$
[b] ディリクレのエータ関数との関係: $$ \eta (s) := \sum_{n \in \mathbb{N}} (-1)^{n-1} n^{-s} $$
説明
ゼータ関数は、実部が$1$より大きい複素数、すなわち$\operatorname{Re} (s) > 1$である$s$内で収束し、ガンマ関数との関係を持っている。特に整数論と複素解析での関心の対象であり、その悪名高いリーマン予想の主役でもある。